Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями
{x = 3 cos t, y = 4 sin t,
y >= 2√3.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\left \{ {{x=3cost} \atop {y=4sint}} \right. ;$       $y\geq 2\sqrt{3}$

для простоты рисования графика, отмечу, что мы фактически имеем эллипс

$\frac{x^2}{3^2} +\frac{y^2}{4^2} =1$

вот рисуем этот эллипс и прямую у = 2√3. в осях ох   оу  мы нарисовали  график и видим все границы по х и у

теперь нам надо перейти к пределам интегрирования по t

у = 2√3 = 4sin t  ⇒  t₁ = π/3;  t₂= 2π/3

однако, мы видим, что нужная нам фигура состоит из двух симметричных относительно оси оу фигур. найдем площадь одной и умножим потом на 2

надл найти "высшую" точку эллипса. это будет точка при х = 0

х = 0 = 3cost  ⇒ t = π/2

вот и все, теперь считаем интергал

$S=2\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {x(t)y'(t)} \, dt =2\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {3cost*4cost} \, dt=24\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {cos^2t}\,dt=$

$=24\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {0.5(cos(2t)+1)} \, dt =12\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {(cos(2t)+1)} \, dt =12\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {cos(2t)} \, dt +12\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {} \, dt =$

теперь для первого интеграла мы сделаем замену u=2t; du=2dt, тогда в этом интеграле поменяются пределы интегрирования  

верхний станет π, а нижний 2π/3, и вот

$=6\int\limits^\pi _{2\pi /3} {cosu} \, du+12\int\limits^{\pi /2}_{\pi /3} {} \, dt=6sinuI_{2\pi /3} ^\pi +12tI_{\pi /3}^{\pi /2}= -3\sqrt{3} +2\pi$