Question

помогите пожалуйста, срочно нужно!!​

Answer 1

Ответ:

$z = \frac{xy}{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{2} }$

$\frac{dz}{dx} = y \times \frac{1 \times {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{2} - 2( {x}^{2} + {y}^{2}) \times 2x \times x }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{4} } = \\ = y \times \frac{( {x}^{2} + {y}^{2})( {x}^{2} + {y}^{2} - 4 {x}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} )}^{4} } = \\ = \frac{y( {y}^{2} - 3 {x}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{3} }$

$\frac{ {d}^{2}z }{ {dx}^{2} } = y \times \frac{ - 6x {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{3} - 3 {( {x}^{2} + {y}^{2} )}^{2} \times 2x \times ( {y}^{2} - 3 {x}^{2}) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} ) }^{6} } = \\ = y \times \frac{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{2}( - 6x( {x}^{2} + {y}^{2}) - 6x( {y}^{2} - 3 {x}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{6} } = \\ = y \times \frac{ - 6 {x}^{3} - 6x {y}^{2} - 6x {y}^{2} + 18 {x}^{3} }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{4} } = \\ = \frac{y(12 {x}^{3} - 12x {y}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{4} } = \\ = \frac{12xy( {x}^{2} - {y}^{2}) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{4} }$

$\frac{dz}{dy} = x \times \frac{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{2} - 2( {x}^{2} + {y}^{2} ) \times 2y }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} ) }^{4} } = \\ = x \times \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} - 4 {y}^{2} }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{3} } = \frac{x( {x}^{2} - 3 {y}^{2}) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{3} }$

$\frac{ {d}^{2} z}{ {dy}^{2} } = x \times \frac{( - 6y {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{3} - 3 {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{2} \times 2y \times ( {x}^{2} - 3 {y}^{2} )) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{6} } = \\ = x \times \frac{ - 6y( {x}^{2} + {y}^{2} ) - 6y( {x}^{2} - 3 {y}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} )}^{4} } = \\ = x \times \frac{ - 6y {x}^{2} - 6 {y}^{3} - 6y {x}^{2} + 18 {y}^{3} }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{4} } = \\ = \frac{x(12 {y}^{3} - 12y {x}^{2} )}{ {( {x}^{2} + {y}^{2} )}^{4} } = \\ = \frac{12xy( {y}^{2} - {x}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{4} }$

в равенство подставляем:

$\frac{ {d}^{2} z}{ {dx}^{2} } + \frac{ {d}^{2}z }{ {dy}^{2} } = 0$

$\frac{12xy( {x}^{2} - {y}^{2}) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} ) }^{4} } + \frac{12xy( {y}^{2} - {x}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} )}^{4} } = \\ = \frac{12xy}{ {( {x}^{2} + {y}^{2} ) }^{4} } ( {x}^{2} - {y}^{2} + {y}^{2} - {x}^{2} ) = 0$

чтд.