Question

Методом Эйлера найти численное решение уравнения

Answer 1

$y'=y^2+\dfrac{y}{x}$

Начальная точка дана по условию:

$(2;\ 4)$

Запишем искомые решения, для нахождения х используем заданное значение шага $h=0.1$:

$(2.1;\ y_1);\ (2.2;\ y_2);\ (2.3;\ y_3);\ (2.4;\ y_4);$

$(2.5;\ y_5);\ (2.6;\ y_6);\ (2.7;\ y_7);\ (2.8;\ y_8)$

Вычислять неизвестные значения у будем по формуле:

$y_{i+1}=y_i+h\cdot f(x_i;\ y_i),\ f(x;\ y)=y^2+\dfrac{y}{x}$

В качестве начального значения используем координаты начальной точки:

$x_0=2;\ y_0=4$

Получим:

$y_1=y_0+h\cdot f(x_0;\ y_0)=4+0.1\cdot\left(4^2+\dfrac{4}{2} \right)=5.8$

$y_2=y_1+h\cdot f(x_1;\ y_1)=5.8+0.1\cdot\left(5.8^2+\dfrac{5.8}{2.1} \right)\approx9.44$

$y_3=y_2+h\cdot f(x_2;\ y_2)=9.44+0.1\cdot\left(9.44^2+\dfrac{9.44}{2.2} \right)\approx18.78$

$y_4=y_3+h\cdot f(x_3;\ y_3)=18.78+0.1\cdot\left(18.78^2+\dfrac{18.78}{2.3} \right)\approx54.87$

$y_5=y_4+h\cdot f(x_4;\ y_4)=54.87+0.1\cdot\left(54.87^2+\dfrac{54.87}{2.4} \right)\approx358.23$

$y_6=y_5+h\cdot f(x_5;\ y_5)=358.23+0.1\cdot\left(358.23^2+\dfrac{358.23}{2.5} \right)\approx13205$

$y_7=y_6+h\cdot f(x_6;\ y_6)=13205+0.1\cdot\left(13205^2+\dfrac{13205}{2.6} \right)\approx17450915$

$y_8=y_7+h\cdot f(x_7;\ y_7)=\\=17450915+0.1\cdot\left(17450915^2+\dfrac{17450915}{2.7} \right)\approx30453461530968$

Таким образом, численные решения:

$(2.1;\ 5.8);\ (2.2;\ 9.44);\ (2.3;\ 18.78);\ (2.4;\ 54.87);$

$(2.5;\ 358.23);\ (2.6;\ 13205);\ (2.7;\ 17450915);\ (2.8;\ 30453461530968)$