Question

Найдите все натуральные n такие, что n3+1 является степенью (возможно, первой) простого числа.

Answer 1

$n=1$ нам подходит. Пусть $n\geq 2$.

Пусть $n^3+1=p^{\alpha}, \; \alpha \geq 1$. Понятно, что $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$. Пусть существует натуральное $d>1$, которое делит и $n+1$, и $n^2-n+1$. Выберем наибольшее из таких чисел. Тогда $d$ делит и разность этих чисел, то есть $d\; |\; n^2-2n = n(n-2)$, но $d\nmid n$, поскольку $n$ и $n+1$ взаимно простые числа. Тогда $d\;|\; n-2$. Итак, $d$ делит $n+1$ и $n-2$, значит, делит $3$. Следовательно, $d=3$.

В таком случае, $p=3$. Понятно, что $n+1=p^{m},\; n^2-n+1=p^{n},\; m+n=\alpha$. Раз $d=3$, то $m=1$. Теперь совсем просто:  $n+1=3$, откуда $n=2$, что также подходит.

Если указанного значения $d$ не существует, то $d=1$. Но тогда $n+1=1$, откуда $0^3+1=1$, что не является простым числом.