Question

1) Вычислить длину дуги
y=e^(x/2)+e^(-x/2)
Важно подробное интегрирования

2)Вычислить объѐм тела, полученного при вращении криволинейной трапеции,
ограниченной линиями, вокруг указанной оси
(x^2)/4+(y^2)/6=1 вокруг оси OX
Нужно подробное интегрирование и график

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)

$y=e^{x/2}+e^{-x/2};$    x=0;   x=2

длина дуги

$L=\int\limits^2_0 {(\sqrt{1+(y')^2} } \, dx$

$y'=\frac{e^{x/2}}{2} -\frac{e^{-x/2}}{2}$

$(y')^2=(0.5e^{x/2}-0.5e^{-x/2})=0.25e^x+0.25e^{-x}-2*0.5*0.5e^0 =$

$=0.25(e^x+e^{-x})-0.5$

теперь под интегралом

$\sqrt{1+0,25(e^x+e^{-x})-0.5} = \sqrt{0,25(e^x+e^{-x})+0.5} = \sqrt{0,25(e^x+e^{-x}+2)}=\\=0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}$

вот это и будем интегрировать используя определение гиперболических функций

$\int\limits^2_0 {0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}} \, dx =$

чтобы тут не таскать за собой пределы интегрирования, сперва вычислим неопределенный интеграл

$\int{0.5 \sqrt{(e^x+e^{-x}+2)}} \, dx =\int {\sqrt\frac{2coshx+2}{2} } \, dx =\frac{1}{\sqrt{2} } \int{\sqrt{coshx+1} } \, dx =$

$=\frac{1}{\sqrt{2} } \int{\sqrt{2}cosh(x/2)} \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=x/2\\dx=2du\\\end{array}\right] =2^{-1/2}*2^{3/2}\int {coshu} \, du=$

$=2sinhu +C = 2sinh(x/2)+C = 2\frac{e^{x/2}-e^{-x/2}}{2} +C=e^{x/2}-e^{-x/2}+C$

и теперь подставим пределы интегрирования

$(e^{x/2}-e^{-x/2}I_0^2=e^1-e^{-1}$

вот такая вот дуга

2) (x²)/4+(y²)/6=1

точки пересечения этой окружности с осью ОХ

х₁=-2 ; х₂ = 2

формула расчета объема фигуры

$V=\pi \int\limits^a_b {y^2(x)} \, dx$

найдем у²

$\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{6} =1;$   ⇒  $y^2 = 6-\frac{3x^2}{2}$

$V=\pi \int\limits^2_{-2} {(6-\frac{3x^2}{2} )} \, dx= \pi 6\int\limits^2_{-2} {} \, dx -\pi *\frac{3}{2} \int\limits^2_{-2} {x^2} \, dx =$

$=\pi *6xI_{-2}^2 -\pi *\frac{3}{2} \frac{x^2}{2} I_{-2}^2= \pi( 24-8)=16\pi$