Question

На сторонах треугольника ABC взяты точки M,N,P так,что они делят стороны AB,BC,CA в отношении 1:2, считая с вершины A,B,C. Найдите площадь треугольника MNP, если известно,что площадь треугольника ABC равна S​

Answer 1

Ответ:

$S_{MNP}=\dfrac{S}{3}$

Объяснение:

Обозначим стороны треугольника:

АВ = с

AC = b

BC = a

Площадь треугольника АВС:

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}ab\cdot \sin C=\dfrac{1}{2}bc\cdot \sin A=\dfrac{1}{2}ac\cdot \sin B=S$

Площади "отсекаемых треугольников":

$S_1=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{c}{3}\cdot \dfrac{2b}{3}\cdot \sin A=\dfrac{bc}{9}\cdot \sin A$

$S_2=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{2c}{3}\cdot \sin B=\dfrac{ac}{9}\cdot \sin B$

$S_2=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{b}{3}\cdot \dfrac{2a}{3}\cdot \sin C=\dfrac{ab}{9}\cdot \sin C$

Найдем, какую часть они составляют от площади треугольника АВС:

$\dfrac{S_1}{S_{ABC}}=\dfrac{bc}{9}\cdot \sin A:\left(\dfrac{1}{2}bc\cdot \sin A\right)=\dfrac{1}{9}\cdot 2=\dfrac{2}{9}$

$S_1=\dfrac{2}{9}S$

Аналогично,

$S_2=\dfrac{2}{9}S$

$S_3=\dfrac{2}{9}S$

Тогда площадь треугольника MNP:

$\boldsymbol{S_{MNP}}=S_{ABC}-S_1-S_2-S_3=S-3\cdot \dfrac{2}{9}S=S-\dfrac{2}{3}S=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}S}$