Question

y'=2/4x^2+5x+3
Срочно!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int {\frac{1}{2\sqrt{4x^2+5x+3} } } \, dx = \frac{1}{2} \int {\frac{1}{\sqrt{4x^2+5x+3} } } \, dx$

теперь выделим полный квадрат под знаком корня

$4x^2+5x+3=(2x+\frac{5}{4} )^2+\frac{23}{16}$

в интегале сделаем замену

$u=\frac{8x+5}{\sqrt{23} } ;$   ⇒   $\frac{du}{dx} =\frac{8}{\sqrt{23} } ;$    $dx = \frac{\sqrt{23} }{8} du$

вот с премудростями и всё.

теперь, после некоторых преобразований, мы получим табличный интеграл

$\int\frac{\sqrt{23} }{2\sqrt{23u^2+23} } \, dx =\frac{1}{2} \int {\frac{1}{u^2+1} } \, dx=ln(\sqrt{u^2+1} +u)$

тогда

$\frac{1}{2} \int{\frac{1}{\sqrt{u^2+1} } } \, du=\frac{ln(\sqrt{u^2+1} +u}{2}$

теперь вспоминаем что $u=\frac{8x+2}{\sqrt{23} }$  и что у нас сразу была вынесена 1/2 за интеграл, получим ответ

$\frac{ln(\sqrt{\frac{(8x+5)^2}{23} +1} +\frac{8x+5}{\sqrt{23} }) }{4} +C$

облагородим эту жуть и получим

$\int {\frac{1}{2\sqrt{4x^2+5x+3} } } \, dx = \frac{1}{4}ln(\sqrt{(8x+5)^2+23} +8x+5)+C$