Question

Провести исследование и построить график

Answer 1

Ответ:

===================================

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y=\frac{2x^3+1}{x^2}$

1. ОДЗ.

$x\neq 0\;\Rightarrow\;x\in (-\infty;0)\cup (0;+\infty)$

2. Четность, нечетность.

$\displaystyle y(-x)=\frac{2*(-x)^3+1}{(-x)^2} =\frac{-1x^3+1}{x^2} \\y(-x)\neq y(x)\neq -y(x)$

⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями.

1) С осью 0х:

$\displaystyle y=0;\;\;\;2x^3+1=0;\;\;\;x^3=-\frac{1}{2};\;\;\;x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2} };\;\;\;x\approx -0,8$

2) С осью 0у:

$x\neq 0;\;\;\;$

⇒ ось 0у не пересекает.

4. Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x^3+1}{x^2}= \infty$

⇒ x=0 - вертикальная асимптота.

2) Наклонная асимптота:

$y=kx+b$

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3+1}{x^2*x}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^3}{x^3}+\frac{1}{x^3} }{\frac{x^3}{x^3} } =2$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x^3+1}{x^2} -2x\right)= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3+1-2x^3}{x^2} =0$

⇒ y=2x - наклонная асимптота.

5. Возрастание, убывание.

Найдем производную, приравняем к 0 и найдем корни. Отметим их значения на числовой оси. Определим знаки производной на промежутках. Если "+", функция возрастает, если "-" , убывает.

$\displaystyle y'=\frac{2*3x^2*x^2-(2x^3+1)*2x}{x^4} =\frac{6x^4-4x^4-2x}{x^4}=\frac{2(x^3-1)}{x^3}\\\\y'=0;\;\;\; x^3-1=0;\;\;\;\\x=1;\;\;\;x\neq 0$

См. рис.

Функция возрастает при х∈(-∞; 0)∪[1; +∞); убывает при х∈(0; 1].

$\displaystyle x_{min}=1\\\\y_{min}=y(1)=\frac{2*1+1}{1} =3$

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к 0, найдем корни, отметим их значения на числовой оси. Определим знаки второй производной на промежутках. Если "+" -вогнута, "-" - выпукла.

$\displaystyle y''=2*\frac{3x^2*x^3-(x^3-1)*3x^2}{x^6} =2*\frac{3x^5-3x^5+3x^2}{x^6} =\frac{6}{x^4}$

Знаменатель в четной степени, следовательно значение второй производной положительно.

⇒ Функция вогнута.

См. рис.

Не забываем про точку х≠0!

Строим график.