Question

Высшая математика Помогите решить подробно этот номер

Answer 1

Ответ:

$\sum \limits _{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{4^{n}\, (n+3)}\\\\\\ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|u{n+1}|}{|u_{n}|}= \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|x|^{n+1}}{4^{n+1}\, (n+4)}\cdot \dfrac{4^{n}\, (n+3)}{|x|^{n}}=\dfrac{|x|}{4}<1\\\\\\|x|<4\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -4<x<4\\\\x=4:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty}\dfrac{4^{n}}{4^{n}\, (n+3)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+3}\ \ -\ \ rasxoditsya$

$x=-4:\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty}\dfrac{(-4)^{n}}{4^{n}\, (n+3)}=\sum \limits _{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+3}\ \ -\ \ yslovno\ sxoditsya\ ,\ tak\ kak\\\\\\Pr.\ Lejbnitca:\ a)\ \ \lim\limits_{n \to \infty}|a_{n}|= \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n+3}=0\\\\\\b)\ \ |a_1|>|a_2|>|a_3|>\ .\, .\, .\ \ \ \ \ \dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{5}>\dfrac{1}{6}\ .\, .\, . \\\\\\x\in [-4\ ;\, 4\, )$