Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО. Мат.Анализ

Answer 1

a)

формулы:

$y'x = \frac{y't}{x't}$

$y''xx = \frac{(y'x)'t}{x't}$

$y't = t \\ x't = \frac{1}{1 + {t}^{2} }$

$y'x = \frac{t}{ \frac{1}{1 + {t}^{2} } } = t(1 + {t}^{2} ) = {t}^{3} + t$

$(y'x)'t = 3 {t}^{2} + 1$

$y''xx = \frac{3 {t}^{2} + 1}{ \frac{1}{1 + {t}^{2} } } = (3 {t}^{2} + 1)(1 + {t}^{2} ) = \\ = 3 {t}^{4} + 4 {t}^{2} + 1$

b)

$y '= \frac{1}{12} \times \frac{1 }{ \frac{ {x}^{4} - {x}^{2} + 1}{ {( {x}^{2} + 1)}^{2} } } \times \frac{(4 {x}^{3} - 2x) {( {x}^{2} + 1) }^{2} - 2( {x}^{2} + 1) \times 2x \times ( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)}{ {( {x}^{2} + 1)}^{4} } - \\ - \frac{1}{2 \sqrt{3} } \times \frac{1}{1 + \frac{3}{ {(2 {x}^{2} - 1)}^{2} } } \times ( - \sqrt{3} {(2 {x}^{2} - 1) }^{ - 2} ) \times 4x = \\ = \frac{1}{12} \times \frac{ {( {x}^{2} + 1) }^{2} }{ {x}^{4} - {x}^{2} + 1 } \times \frac{( {x}^{2} + 1)((4 {x}^{3} - 2x)( {x}^{2} + 1) - 4x( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)}{ {( {x}^{2} + 1)}^{4} } + \\ + \frac{1}{2 \sqrt{3} } \times \frac{ {(2 {x}^{2} - 1)}^{2} }{ {(2 {x}^{2} - 1)}^{2} + 3} \times \frac{4 \sqrt{3}x }{ {(2 {x}^{2} - 1)}^{2} } = \\ = \frac{1}{12} \times \frac{4 {x}^{5} + {x}^{3} - 2 {x}^{3} - 2x - 4 {x}^{5} + 4 {x}^{3} - 4x }{( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } + \frac{2x}{4 {x}^{4} - 4 {x}^{2} + 1 + 3} = \\ = \frac{1}{12} \times \frac{3 {x}^{3} - 6x}{( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } + \frac{2x}{4 {x}^{4} - 4 {x}^{2} + 4} = \\ = \frac{ {x}^{3} - 2x }{4( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1)} + \frac{x}{2 {x}^{4} - 2 {x}^{2} + 2} = \\ = \frac{x( {x}^{2} - 2)}{4( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } + \frac{x}{2 ( {x}^{4} - {x}^{2} + 1) } = \\ = \frac{ {x}^{3} - 2x + 2x( {x}^{2} + 1) }{4( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } = \frac{ {x}^{3} - 2x + 2 {x}^{3} + 2x}{4( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } = \\ = \frac{3 {x}^{3} }{4( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1)}$

вторую производную найдем с помощью формулы:

$y '= ( ln(y))' \times y$

$y = \frac{3}{4} \times \frac{ {x}^{3} }{( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) }$

$( ln(y)) ' = ( ln( \frac{ {x}^{3} }{ ({x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } )' = \\ = (ln( {x}^{3} ) - ln( {x}^{4} - {x}^{2} + 1 ) - ln( {x}^{2} + 1 ))' = \\ = \frac{3 {x}^{2} }{ {x}^{3} } - \frac{4 {x}^{3} - 2x}{ {x}^{4} - {x}^{2} + 1 } - \frac{2x}{ {x}^{2} + 1} = \\ = \frac{3}{x} - \frac{4 {x}^{3} - 2x }{ {x}^{4} - {x}^{2} + 1 } - \frac{2x}{ {x}^{2} + 1 } = \\ = \frac{3( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) -x (4 {x}^{3} - 2x)( {x}^{2} + 1) - 2 {x}^{2}( {x}^{4} - {x}^{2} + 1) }{x( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } = \\ = \frac{3 - 3 {x}^{6} }{x ({x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) }$

$y' = \frac{3}{4} \times \frac{ {x}^{3} }{( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } \times \frac{3(1 - {x}^{6}) }{x( {x}^{4} - {x}^{2} + 1)( {x}^{2} + 1) } = \\ = \frac{9 {x}^{2} (1 - {x}^{6} )}{4 {( {x}^{4} - {x}^{2} + 1) }^{2} {( {x}^{2} + 1) }^{2} }$

таким образом:

$y''xx = \frac{9 {x}^{2} (1 - {x}^{6}) }{4 {( {x}^{4} - {x}^{2} + 1) }^{2} {( {x}^{2} + 1) }^{2} }$