Question

3y''+2y'=x

Розв’язати диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами​

Answer 1

1. Решаем ОЛДУ:

$3y'' + 2y' = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} (3 {k}^{2} + 2 k) = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = - \frac{2}{3} \\ \\ y = C1 + C2 {e}^{ - \frac{2}{3} x}$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A{x}^{2} + Bx + C \\ y' = 2Ax + B \\ y'' = 2A$

подставляем в НЛДУ:

$3 \times 2A+ 2(2Ax + B) = x \\ 6A + 4Ax + 2B = x \\ \\ 4A = 1 \\ 6A + 2B = 0 \\ \\ A= \frac{1}{4} \\ B = - 3A = - \frac{3}{4}$

$y = \frac{ {x}^{2} }{4} - \frac{3x}{4}$

$y = C1 + C2 {e}^{ - \frac{2}{3} x} + \frac{ {x}^{2} }{4} - \frac{3x}{4}$

общее решение