Question

Срочно нужна ваша помощь

Answer 1

Ответ:

$[-4;4)$

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[\Big n]{\dfrac{1}{4^n(n+3)}}=\dfrac{1}{4}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[\Big n]{\dfrac{1}{n+3}}=\dfrac{1}{4}$

А значит радиус сходимости степенного ряда $R=\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4$

Исследуем сходимость на концах

$x=4\Rightarrow\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n+3}$ - расходится, так как представляет собой гармонический ряд без конечного числа членов.

$x=-4\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n+3}=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n\cdot a_n$

$1.\;a_n>0\;\forall n\in N\\ 2.\; a_n>a_{n+1}\;\forall n\in N\\ 3.\;\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+3}=0$

А тогда, по признаку Лейбница, ряд сходится.