Question

Математика 2 курс, ДиффУравнения, помогите сдать долги)
всех с новым годом)

Answer 1

Ответ:

4.6

1) ОЛДУ:

$y'' - 3y' - 4y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 3k - 4) = 0 \\ D= 9 + 16 = 25 \\ k1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \\ k2 = - 1 \\ y = C1 {e}^{4x} + C2 {e}^{ - x}$

2) Подбираем у с неопределенными коэффициентами:

$у = A {x}^{2} + Bx + C \\ у' = 2Ax + B \\ у'' = 2A$

подставляем в НЛДУ:

$2A -3( 2Ax + B) - 4(A {x}^{2} + Bx + C) = 2x - 2 {x}^{2} \\ 2A - 6Ax - 3B - 4A {x}^{2} - 4Bx - 4C = 2x - 2 {x}^{2}$

$- 4A = - 2 \\ - 6A - 4B = 2 \\ 2A - 3B- 4C= 0 \\ \\ A = \frac{1}{2} \\ B= \frac{1}{4} ( - 6A - 2) = - \frac{5}{4} \\ C = \frac{1}{4} (2A - 3B) = \\ = \frac{1}{4} (1 + \frac{15}{4} ) = \frac{1}{4} \times \frac{19}{4} = \frac{19}{16}$

получаем

$у = \frac{ {x}^{2} }{2} - \frac{5x}{4} + \frac{19}{16}$

общее решение:

$y = C1 {e}^{4x} + C2 {e}^{ - x} + \frac{ {x}^{2} }{2} - \frac{5x}{4} + \frac{19}{16}$

5.6

1)ОЛДУ:

$y'' - 5y' + 4y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {k}^{2} - 5 k + 4 = 0 \\ D= 25 - 16 = 9 \\ k1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \\ k2 = 1 \\ y = C1 {e}^{4x} + C2 {e}^{x}$

2) подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$у = {e}^{x} (Ax + B) \times x$

умножаем еще на х, так как коэффициенты у "е" совпадают.

$у = {e}^{x} (A {x}^{2} + Bx)$

$у'= {e}^{x} (A {x}^{2} + Bx) + {e}^{x} (2Ax + B) = \\ = {e}^{x} ( A{x}^{2} + 2 Ax + Bx + B)$

$у'' = {e}^{x} (A {x}^{2} + 2Ax + Bx + B) + {e}^{x} (2Ax + 2A + B) = \\ = {e}^{x} ( A{x}^{2} + 4Ax + Bx + 2A + 2B)$

В НЛДУ (сразу выносим е^х за скобку):

${e}^{x} (a {x}^{2} + 4Ax + Bx + 2A + 2B - 5(A {x}^{2} + 2Ax + Bx + B) + 4( A{x}^{2} + Bx)) = {e}^{x} (2x - 5) \\ {e}^{x} (A {x}^{2} + 4Ax + Bx + 2A + 2B - 5A {x}^{2} - 10Ax - 5Bx - 5B + 4A {x}^{2} + 4Bx) = {e}^{x} (2x - 5) \\ {e}^{x}( - 6Ax + 2A- 3B) = {e}^{x} (2x - 5)$

система:

$- 6 A= 2 \\ 2A - 3B = - 5 \\ \\ A = - \frac{1}{3} \\ B = \frac{1}{3} (2A + 5) = \frac{1}{3} (5 - \frac{2}{3} ) = \\ = \frac{1}{3} \times \frac{13}{3} = \frac{13}{9}$

получаем:

$у = {e}^{x} ( - \frac{ {x}^{2} }{3} + \frac{13x}{9} )$

общее решение:

$y = C1 {e}^{4x} + C2 {e}^{x} + {e}^{x} ( \frac{13x}{9} - \frac{ {x}^{2} }{3} )$