Question

Помогите с пределами​

Answer 1

Разложим показатель и основание по формуле Тейлора до $o(x^2)$:

$\cot ^2 x = \frac{1}{x^2}-\frac{2}{3}+\frac{x^2}{15}+o(x^2),\; x\to 0$, $6-\frac{5}{\cos x} = 1-\frac{5x^2}{2}+o(x^2),\; x\to 0$.

Искомый предел: $\lim\limits_{x\to 0}\left(1-\frac{5x^2}{2}+o(x^2)\right)^{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{3}+\frac{x^2}{15}+o(x^2)}=\lim\limits_{x\to 0}\left(1-\frac{5x^2}{2}\right)^{\frac{1}{x^2}}= e^{-5/2}$.