Question

Помогите найти: для функции z = f(x,y) найти градиент и производную по направлению a ̅ в точке A.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

градиент функции z = f(x,y) это вектор, координатами которого являются частные производные данной функции.

$grad(z) = \frac{dz}{dx} i+\frac{dz}{dy} j$

частные производные

$\frac{dz}{dx} =\frac{18x}{9x^2+3y^2} ;$     $\frac{dz}{dy} =\frac{6y}{9x^2+3y^2} ;$

$grad(z)=\frac{18x}{9x^2+3y^2} i +\frac{6y}{9x^2+3y^2}j$

теперь в точке А(-3;9)

$\frac{x}{y} grad(z)_A=\frac{18*(-3)}{9(-3)^2+3(9)^2} i +\frac{6*9}{9x^2+3(9)^2}j=-\frac{1}{6} i+\frac{1}{6} j$

теперь направление

направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами

$cos\alpha =\frac{dz/dx}{Igrad(z)_AI} ;$    $cos\beta =\frac{dz/dy}{Igrad(z)_AI} ;$

ищем модуль градиента в точке А

$Igrad(z)_AI=\sqrt{(dz/dx)^2+(dz/dy)^2} =\sqrt{(-1/6)^2+(1/6)^2} =\frac{\sqrt{2} }{6}$

$cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2} } ;$    $cos\beta =\frac{1}{\sqrt{2} } ;$

теперь  производная в точке А по направлению вектора а(9;-3).

$\frac{dz}{da} = \frac{dz}{x} cos\alpha +\frac{dz}{dy} cos\beta$

$cos\alpha =\frac{x}{IaI} ;$      $cos\beta =\frac{y}{IaI} ;$

$IaI = \sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{9^2+(-3)^2} =3\sqrt{10}$

$cos\alpha =\frac{3}{\sqrt{10} } ;$   $cos\beta =-\frac{1}{\sqrt{10} }$

и вот

$\frac{dz}{da} = -\frac{1}{6} *\frac{3}{\sqrt{10}} +\frac{1}{6} *\frac{-1}{\sqrt{10} } =-\frac{\sqrt{10} }{5}$

и поскольку dz/da < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.