Question

Решите систему уравнений

Answer 1

Ответ:

$(-4; -3); \quad (4; 3); \quad (-3; -4); \quad (3; 4);$

Пошаговое объяснение:

ОДЗ:

$x \neq 0, \quad y \neq 0;$

Решение:

$\left \{ {{x^{3}y+xy^{3}=300} \atop {xy+x^{2}+y^{2}=37}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{xy \cdot (x^{2}+y^{2})=300} \atop {xy+x^{2}+y^{2}=37}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{xy=12} \atop {x^{2}+y^{2}=25}} \right. \vee \left \{ {{xy=25} \atop {x^{2}+y^{2}=12}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\frac{12}{y}} \atop {x^{2}+y^{2}=25}} \right. \vee$

$\vee \left \{ {{x=\frac{25}{y}} \atop {x^{2}+y^{2}=12}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\frac{12}{y}} \atop {\frac{144}{y^{2}}+y^{2}=25}} \right. \vee \left \{ {{x=\frac{25}{y}} \atop {\frac{625}{y^{2}}+y^{2}=12}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=\frac{12}{y}} \atop {144+y^{4}=25y^{2}}} \right. \vee \left \{ {{x=\frac{25}{y}} \atop {625+y^{4}=12y^{2}}} \right. ;$

Решим биквадратные уравнения:

$144+y^{4}=25y^{2};$

$y^{4}-25y^{2}+144=0;$

$(y^{2})^{2}-25y^{2}+144=0;$

Введём замену:

$t=y^{2};$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$t^{2}-25t+144=0;$

Решаем уравнение с помощью теоремы Виета:

$\left \{ {{t_{1}+t_{2}=-(-25)} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=144}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}+t_{2}=25} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=144}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}=9} \atop {t_{2}=16}} \right. ;$

Вернёмся к замене:

$y^{2}=9 \quad \vee \quad y^{2}=16;$

$y=\pm \sqrt{9} \quad \vee \quad y=\pm \sqrt{16};$

$y=\pm 3 \quad \vee \quad y=\pm 4;$

$625+y^{4}=12y^{2};$

$y^{4}-12y^{2}+625=0;$

$(y^{2})^{2}-12y^{2}+625=0;$

Введём замену:

$t=y^{2};$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$t^{2}-12t+625=0;$

$D=b^{2}-4ac;$

$D=(-12)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 625=144-2500=-2356<0;$

Действительных корней нет.

Подставим полученные значения переменной "у" в систему:

$\left \{ {{x=\frac{12}{y}} \atop {y=-3}} \right. \vee \left \{ {{x=\frac{12}{y}} \atop {y=3}} \right. \vee \left \{ {{x=\frac{12}{y}} \atop {y=-4}} \right. \vee \left \{ {{x=\frac{12}{y}} \atop {y=4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=-4} \atop {y=-3}} \right. \vee \left \{ {{x=4} \atop {y=3}} \right. \vee \left \{ {{x=-3} \atop {y=-4}} \right. \vee \left \{ {{x=3} \atop {y=4}} \right. ;$

$(-4; -3); \quad (4; 3); \quad (-3; -4); \quad (3; 4);$