Question

20б.Существует ли теорема о том, что прямая O1O2 точно проходит через точку Р??? Скажите, пожалуйста!!! Как доказать??

Answer 1

Ответ:

См. Объяснение

Объяснение:

Есть теорема о внутренних касательных.

К двум окружностям можно провести только две общих внутренних касательных; других общих внутренних касательных у этих окружностей нет.

Из данной теоремы следует, что существует единственная точка P пересечения внутренних касательных; других точек пересечения внутренних касательных нет.  

Докажем, что точка P принадлежит прямой О₁О₂.

1) Соединим центры окружностей прямой О₁О₂ и из точки О₁  опустим перпендикуляры к касательным, проведённым к окружности с центром О₁, - получим 2 прямоугольных треугольника, в которых:

- два катета, проведённых из центра окружности О₁ к касательным,   равны между собой как радиусы одной окружности;

- два других катета также равны между собой как касательные, проведённые к данной окружности из одной и той же точки пересечения касательных (назовём эту точку Х).

2) Так как две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) В равных треугольниках углы, лежащие против равных сторон, равны, следовательно, прямая  О₁О₂ делит вертикальные углы, образованные пересечением касательных, на 2 пары равных углов.

4) В рассматриваемых равных прямоугольных треугольниках сторона О₁Х является общей, в силу чего вершина Х также является общей и принадлежит одновременно двум внутренним касательным, а это может быть тогда и только тогда, когда точка Х совпадает с точкой Р, так как существует только одна точка пересечения внутренних касательных.

Что и требовалось доказать.

Примечание.

Для окружности с центром О₂ построения и ход рассуждения аналогичны рассмотренным выше для О₁.