Question

Один из углов осевого сечения конуса равен 90°. Хорда основания
конуса, равная 4 /3 см, стягивает дугу в 120°. Найдите площадь сече-
ния конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и данную
хорду основания.
​

Answer 1

Ответ:

S =  (4√15)/27 см².

Объяснение:

Дано: конус с углом при вершине ∠В = 90° (так как углы при основании осевого сечения не могут быть равными 90°).  

Хорда АD = 4/3 см. ∠AOD = 120°.

Найти Sabd.

Решение.

Проведем ОН перпендикулярно AD. (Рисунок в приложении).

В равнобедренном треугольнике АОD (ОА=ОD - радиусы основания) ОН - высота, медиана и биссектриса. Тогда ∠AOН = 60°, ∠ОАН = 30°.

АН = (1/2)·AD = 2/3 см. АО = 2·ОН (катет против угла 30°).

По Пифагору: 4·ОН²=ОН² + АН² => ОН² = АН²/3 =>

ОН = АН/√3 = (2√3)/9 см.  АО = (4√3)/9 см.

Прямоугольный треугольник АВС равнобедренный и

∠AВO = 45°.

Значит в прямоугольном треугольнике АОВ

АО = ВО = (4√3)/9 см.

В прямоугольном треугольнике ВОН по Пифагору:

ВН = √(OH² + OB²) = √(12/81 +48/81) = √(60/81) = (2√15)/9.  

Sabd = (1/2)·AD·BH = (2/3)·2√15/9 = 4√15/27 см².