Question

Отдаю все баллы, помогите пожалуйста.

Answer 1

ОДЗ:

$0 < |\cos\frac{\pi x}{4}| < 1$

и

$x^2 - 5|x| + 5 > 0$

Рассмотрим ОДЗ подробнее:

если $|\cos\frac{\pi x}{4}| \neq 0$, то ввиду тождества:

$\cos^2\frac{\pi x}{4} + \sin^2\frac{\pi x}{4} \equiv 1$

имеем $|\sin\frac{\pi x}{4}| \neq 1$.

И если $|\cos\frac{\pi x}{4}| \neq 1$, то исходя из того же тождества, имеем

$|\sin\frac{\pi x}{4}| \neq 0$

Это значит $0 < |\sin\frac{\pi x}{4} | < 1$

$|\cos\frac{\pi x}{4}| \neq 0$

$\cos\frac{\pi x}{4} \neq 0$

$\frac{\pi x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, k∈Z,

$\frac{x}{4} \neq \frac{1}{2} + k$

$x \neq 2 + 4k$.

$|\cos\frac{\pi x}{4}| \neq 1$

$\sin\frac{\pi x}{4} \neq 0$

$\frac{\pi x}{4} \neq \pi m$, m∈Z,

$\frac{x}{4} \neq m$

$x \neq 4m$.

$x^2 - 5|x| + 5 > 0$

Итак, ОДЗ:

$x \neq 2 + 4k$, k∈Z,

$x \neq 4m$, m∈Z,

$x^2 - 5|x| + 5 > 0$

Теперь решаем само уравнение:

$|\sin\frac{\pi x}{4}|^{\log_{|\cos\frac{\pi x}{4}|} (x^2 - 5|x| + 5)} \leq 1 = |\sin\frac{\pi x}{4}|^0$

Т.к. $0 < |\sin\frac{\pi x}{4}| < 1$, то функция $f(t) = |\sin\frac{\pi x}{4}|^t$

убывающая и поэтому имеем

$\log_{|\cos\frac{\pi x}{4}|} (x^2 - 5|x| + 5) \geq 0$

$\log_{|\cos\frac{\pi x}{4}|} (x^2 - 5|x| + 5) \geq \log_{|\cos\frac{\pi x}{4}|} 1$

Т.к. $0 < |\cos\frac{\pi x}{4}| < 1$, то функция $g(t) = \log_{|\cos\frac{\pi x}{4}|} t$ убывающая, поэтому имеем

$x^2 - 5|x| + 5 \leq 1$

$x^2 - 5|x| + 4 \leq 0$

$D = 5^2 - 4\cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x^2 - 5|x| + 4 \equiv |x|^2 - 5|x| + 4 \equiv |x|^2 - |x| - 4|x| + 4 \equiv$

$\equiv |x|\cdot (|x| - 1) - 4\cdot (|x| - 1) \equiv (|x| - 1)\cdot(|x| - 4) \leq 0$

$1 \leq |x| \leq 4$

Мы ищем только целочисленные решения, тогда:

x может принимать значения:

-1; -2; -3; -4; 1; 2; 3; 4. Из них в ОДЗ входят лишь: -1 и 1.

Ответ. Два целочисленных решения.