Question

Найти границу функции за правилом Лопиталя lim lncos2x /lncos5x
x->0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(cos2x)}{ln(cos5x)}$

здесь неопределенность     $\lim_{x \to 0} \frac{ln(cos2x)}{ln(cos5x)}=\frac{0}{0}$

правило Лопиталя помогает раскрыть такие неопределенности, вот правило: предел отношения функций равен пределу отношения их производных

у нас

f(x) = ln(cos(2x));     g(x) = ln(cos(5x))

$f'(x) = -2\frac{sin2x}{cos2x};$       $g'(x) = -5\frac{sin5x}{cos5x};$

$\lim_{x \to 0} =\frac{ -2\frac{sin2x}{cos2x} }{ -5\frac{sin5x}{cos5x} } =\frac{0}{0}$

опять неопределеность. берес следующую производную, но сначала упростим эту громадину

$\lim_{x \to0} \frac{ 2tg2x }{5tg5x}$

возьмем производную

f(x) = f'(x) = 4*tg(2*x)2+4

g'(x) = 25*tg(5*x)2+25) ;                g(x) = 5tg(5x)

f'(x) = 4tg(2x)²+4 ;          g'(x) = 25tg(5x)²+25

теперь предел

$\lim_{x \to 0} \frac{4tg(2x)^2+4}{ 25tg(5x)^2+25}= \frac{4}{25}$