Question

Найти точки графика функции y=f(x), через которые касательные к графику нарисованной функции параллельны оси абсцисс, когда:​

Answer 1

Идея в том, что касательная будет параллельна оси абсцисс, если производная функции будет равна 0

a)

y = x³ - 3x + 1

y' = 3x² - 3

3(x² - 1) = 0

x = ±1

При x = 1; y = -1;

При x = -1; y = 3;

точки касания: (1; -1); (-1; 3)

b)

y = x³ - 3x² + x + 2

y' = 3x² - 6x + 1

3x² - 6x + 1 = 0

D = 36 - 12 = 24

x = (6 ± 2√6) ÷ 6 = (3 ± √6) ÷ 3

$x=1\pm\dfrac{\sqrt{6} }{3}$

$x=1+\dfrac{\sqrt{6} }{3};y=1-\dfrac{4\sqrt{6} }{9}$

$x=1-\dfrac{\sqrt{6} }{3};y=1+\dfrac{4\sqrt{6} }{9}$

точки касания:

$\left(1+\dfrac{\sqrt{6} }{3};1-\dfrac{4\sqrt{6} }{9}\right);\left(1-\dfrac{\sqrt{6} }{3};1+\dfrac{4\sqrt{6} }{9}\right)$

c)

y = 2x³ - 6x

y' = 6x² - 6

6(x² - 1) = 0

x = ±1

При x = 1; y = -4;

При x = -1; y = 4;

точки касания (1; -4); (-1; 4)  

d)

y = x⁴ - 8x

y' = 4x³ - 8

x³ - 2 = 0

x = ∛2

y = ∛16 - 8∛2 = 2∛2 - 8∛2 = -6∛2

точка касания (∛2; -6∛2)

e)

y = e⁻ˣ + x

y' = -e⁻ˣ + 1

-e⁻ˣ + 1 = 0

e⁻ˣ = 1

e⁻ˣ = e⁰

x = 0

y = 1

точка касания (0; 1)

f)

y = x(x - 4)³

y' = (x - 4)³ + 3x(x - 4)²

(x - 4)²(x - 4 + 3x) = 0

x = 4; (y = 0) или

4x = 4; x = 1; (y = -27)

точки касания:

(4; 0); (1; -27)