Question

Линия задана уравнением r=r(φ) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ=0 до φ=2π и придавая значение через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия r= 5/3-4cosf

Answer 1

Дано уравнение линии в декартовой системе координат: r= 5/3-4cosf.

Преобразуем уравнение к виду r=p/(1-e*cos(a)).

Здесь r- фокальный параметр, е - эксцентриситет, f - полярный угол.

Числитель и знаменатель дроби разделим на 3.

r=(5/3)/(1-(4/3)*cos(f)).

Так как эксцентриситет е = (4/3), то есть больше 1, то заданная кривая - гипербола.

Перевод в Декартову систему координат.

Радиус r = √(x² + y²), cos f = x/√(x² + y²).

Получаем уравнение √(x² + y²) = 5/(3 - (4x/√(x² + y²))).

Если выразить относительно "у" уравнение, то получим:

y = ±(1/3)*√(7x² + 40x + 25).

В общем виде уравнение: 7x² - 9y² + 40x + 25 = 0.

Выделим полные квадраты:

7(x²+2·(20/7)x + (20/7)²) -7·(20/7)² - 9y² + 25 =

= 7(x+(20/7)²) - (400/7) - 9y² + 25   = 0.

7(x+(20/7)²)  - 9y²    = 225/7.

Разделим все выражение на (225/7).

Получаем каноническое уравнение гиперболы.

$\frac{(x+\frac{20}{7})^2 }{(\frac{15}{7} )^2} -\frac{y^2}{(\frac{5}{\sqrt{7} } )^2} =1.$

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:

C((-20/7); 0)  и полуосями: a = (15/7). b = 5/√7.