Question

Дан квадрат со стороной 2 см. Точка S удалена от каждой из вершин квадрата на 2 см. Найдите расстояние от середины отрезка SC до середины стороны AB квадрата.

Answer 1

Так как точка S равноудалена от сторон квадрата, то вместе с ним она образует правильную четырёхугольную пирамиду SABCD.
Найдём высоту правильной четырёхугольной пирамиды SABCD:
Диагональ квадрата основания пирамиды: d=AB=CD=2√2 см
Половина диагонали квадрата основания пирамиды: d/2=AO=BO=√2 см
Согласно с теоремой Пифагора, высота:
$h=sqrt{AS^2-AO^2}=sqrt{2^2-1^2}= sqrt{3}$ см.
Найдём положения точек через координатное пространство, приняв точку O за точку отсчёта. Тогда:
A(-3;3;0),B(-3;-3;0),C(3;-3;0),D(3;3;0),S(0;0;√3).
Середина SC: L(1,5;-1,5;√3/2)
Середина AB: M(-3;0;0)
Найдём расстояние от середины SC до середины AB:
$LM= sqrt{(1,5-3)^2+(-1,5-0)^2+( frac{ sqrt{3} }{2}-0)^2 } =\ =sqrt{2,25+2,25+0,75}= sqrt{5,25} =sqrt{ frac{21}{4} }= frac{sqrt{21}}{2}} см.$