Question

Помогите плиззз
$cos^2x+cos^22x-cos^23x-cos^24x=0$

Answer 1

Используем формулу косинуса двойного угла:

$2\cos^2(y) - 1 \equiv \cos(2y)$

$\cos^2(y) \equiv \frac{1}{2}\cdot(\cos(2y) + 1)$

Тогда имеем:

$\frac{1}{2}\cdot(\cos(2x) + 1) + \frac{1}{2}\cdot(\cos(4x) + 1) - \frac{1}{2}\cdot(\cos(6x)+1) - \frac{1}{2}\cdot(\cos(8x)+1) = 0$

$\cos(2x) + 1 + \cos(4x) + 1 - \cos(6x) - 1 - \cos(8x) - 1 = 0$

$\cos(2x) + \cos(4x) - \cos(6x) - \cos(8x) = 0$

$(\cos(2x) - \cos(8x)) + (\cos(4x) - \cos(6x)) = 0$

Используем формулу: разность косинусов:

$\cos(\alpha) - \cos(\beta) \equiv 2\cdot\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cdot\sin(\frac{\beta - \alpha}{2})$

$\cos(2x) - \cos(8x) \equiv 2\sin(5x)\sin(3x)$

$\cos(4x) - \cos(6x) \equiv 2\sin(5x)\sin(x)$

Имеем:

$2\sin(5x)\sin(3x) + 2\sin(5x)\sin(x) = 0$

$\sin(5x)\cdot(\sin(3x) + \sin(x)) = 0$

Используем формулу: сумма синусов:

$\sin(\alpha) + \sin(\beta) \equiv 2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$

$\sin(3x) + \sin(x) \equiv 2\sin(2x)\cos(x)$

Имеем:

$\sin(5x)\cdot 2\sin(2x)\cos(x) = 0$

$\sin(5x)\cdot\sin(2x)\cdot\cos(x) = 0$

$\sin(5x) = 0$ или $\sin(2x) = 0$ или $\cos(x) = 0$

1) $\sin(5x) = 0$

$5x = \pi k$

$x = \frac{\pi k}{5}$, k∈Z

2) $\sin(2x) = 0$

$2x = \pi m$

$x = \frac{\pi m}{2}$, m∈Z

3) $\cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, n∈Z