Question

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида
$y''-5y'+y=-4x^{2} -5x$

Answer 1

$y''-5y'+y=-4x^2-5x\\\\1)\ \ y''-5y'+y=0\ \ ,\ \ \ \ k^2-5k+1=0\ \ ,\ \ k_{1,2}=\dfrac{5\pm \sqrt{21}}{2}\\\\y_{obsh.odnor.}=C_1e^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}\, x}+C_2e^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}\\\\\\2)\ \ f(x)=(-4x^2-5x)\cdot e^{0\cdot x}\ \ ,\ \ 0\ne k_{1,2}\\\\y_{chastn.neodn.}=Ax^2+Bx+C\\\\y'=2Ax+B\\\\y''=2A\\-----------------------------\\y''-5y'+y=2A-5(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+C)=-4x^2-5x\\\\\\Ax^2+(B-10A)\cdot x+(2A-5B+C)=-4x^2-5x$

$x^2\ |\ A=-4\\x^1\ |\ B-10A=-5\ \ ,\ \ \ B=-5+10A=-5-40=-45\\x^0\ |\ 2A-5B+C=0\ \ ,\ \ \ C=-2A+5B=8-225=-217\\\\y_{chastn.neodn.}=-4x^2-45x-217\\\\3)\ \ y_{obsh.neodnor.}=y_{obsh.odnor.}+y_{chastn.neodnor.}=\\\\=C_1e^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}\, x}+C_2e^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}-4x^2-45x-217$