Прямая задана общим уравнением. Написать ее каноническое и параметрическое уравнение
Ответы
Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей….
Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? В системе уравнений нужно обнулить какую-нибудь координату. Пусть х = 0 , тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим решение системы:
{-y + 3z = 5, |x(2) = -2y + 6z = 10
{2y - 5z = -3 2y - 5z = -3
z = 7. y = 3z - 5 = 3*7 - 5 = 16.
Получили координаты точки, принадлежащей заданной прямой:
А(0; 16; 7).
Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей. А если векторы взаимно перпендикулярны, то вектор «р» найдём как векторное произведение векторов нормали.
Из уравнений плоскостей определяем их векторы нормали:
n1 = (-1; -1;3), n2 = (3; 2; -5).
Тогда p = n1*n2 =
i j k| i j
-1 -1 3| -1 -1
3 2 -5| 3 2 = 5i + 9j - 2k - 5j - 6i + 3k = -1i + 4j + 1k = (-1; 4; 1).
И находим направляющий вектор прямой: p = (-1; 4; 1).
Составим канонические уравнения прямой по точке A и направляющему вектору p.
(x/(-1) = (y - 16)/4 = (z - 7)/1.
Если найденные уравнения приравнять параметру t, то получим параметрические уравнения.
x = -t,
y = 4t + 16,
z = t + 7.