Question

Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов прогрессии равна 102. Найдите знаменатель и первый член данной прогрессии.

Answer 1

$b_{2} = b_{1}q\\\\b_{5} = b_{1}q^4\\\\b_{6} = b_{1}q^5$

Нам известно, что сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102.

$\begin{equation*}\begin{cases}b_{1} + b_{5} = 51\\b_{2} + b_{6} = 102\end{cases}\end{equation*}$

Разделим верхнее уравнение на нижнее:

$\dfrac{b_{1}+b_{5}}{b_{2} + b_{6}} = \dfrac{51}{102}\\\\\\\dfrac{b_{1} + b_{1}q^4}{b_{1}q + b_{1}q^5} = \dfrac{1}{2}$

По основному свойству пропорции:

$2\left(b_{1} + b_{1}q^4\right) = b_{1}q + b_{1}q^5\\\\2b_{1} + 2b_{1}q^4 = b_{1}q\left(1 + q^4\right)\\\\2b_{1}\left(1 + q^4\right) = b_{1}q\left(1+q^4\right)\ \ \ \ \ \Big| : b_{1}\left(1+q^4\right)\\\\\boxed{\bf{q = 2}}$

Мы нашли знаменатель. Найти первый член мы можем, например, из нашего первого уравнения.

$b_{1} + b_{5} = 51\\\\b_{1} + b_{1}q^4 = 51\\\\b_{1}\left(1 + q^4\right) = 51\\\\b_{1}\left(1 + 2^4\right) = 51\\\\b_{1}(1 + 16) = 51\\\\17b_{1} = 51\ \ \ \ \ \Big| :17\\\\\boxed{\bf{b_{1} = 3}}$

Ответ: $q = 2\ ;\ b_{1} = 3$.