Question

Помогите пожалуйста! Здоровья вам!

Answer 1

Ответ:

1.

$y ''= \frac{1}{4} {x}^{ \frac{5}{2} } + 1$

$y' = \int\limits( \frac{1}{4} {x}^{ \frac{5}{2} } + 1)dx = \frac{1}{4} \times \frac{ {x}^{ \frac{7}{2} } }{ \frac{7}{2} } + x + C1 = \\ = \frac{1}{14} {x}^{ \frac{7}{2} } + x + C1$

$y = \frac{1}{14} \times \frac{ {x}^{ \frac{9}{2} } }{ \frac{9}{2} } + \frac{ {x}^{2} }{2} + C1x + C2 = \\ = \frac{1}{63} {x}^{4} \sqrt{x} + \frac{ {x}^{2} }{2} + C1x + C2$

общее решение

2.

$3x \frac{dy}{dx} = 8 {y}^{4} \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{4} } =\int\limits \frac{8}{3} \times \frac{dx}{x} \\ \frac{ {y}^{ - 3} }{ - 3} = \frac{8}{3} \times ln(x) + C\\ - \frac{1}{3 {y}^{3} } = \frac{8}{3} ln(x) + C \\ \frac{1}{ {y}^{3} } = - 8 ln(x) + c$

общее решение

3.

$y' = \frac{ {y}^{2} + 3 {x}^{2} }{xy} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 3 \frac{x}{y}$

замена:

$\frac{y}{x} = U \\ y = U'x + U$

$U'x + U = U + \frac{3}{U} \\ \frac{dU}{dx} x = \frac{3}{U} \\ \int\limits \: UdU = 3\int\limits \frac{dx}{x} \\ \frac{ {U}^{2} }{2} = 3 ln(x) + C \\ {u}^{2} = 6 ln(x) + C\\ \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } = 6 ln(x) + C \\ {y}^{2} = 6 {x}^{2} ln(x) + C {x}^{2}$

общее решение

4.

$y - \frac{y}{x} = x {e}^{x}$

замена:

$y = UV \\ y = U'V + V'U$

$U'V + V'U - \frac{UV}{x} = x {e}^{x} \\ U'V+ U(V' - \frac{V}{x} ) = x {e}^{x} \\ \\ 1) \frac{dV}{dx} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{V} = \int\limits\frac{dx}{x} \\ ln(V) = ln(x) \\ V = x \\ \\ 2) \frac{dU}{dx} \times x = x {e}^{x} \\ U = \int\limits {e}^{x} dx \\ U = {e}^{x} + C \\ \\ y = x {e}^{x} + Cx$

общее решение

5.

замена:

$y = {e}^{kx}$

${e}^{kx} ( {k}^{2} - 4k + 20) = 0 \\ d = 16 - 80 = - 64 \\ k1 = \frac{4 + \sqrt{ - 64} }{2} = \frac{4 + 8i}{2} = 2 + 4i \\ k = 2 - 4i \\ \\ y = {e}^{2x} (C1 \sin(4x) + C2 \cos(4x))$

общее решение