Question

Сумма боковых сторон AB и CD трапеции ABCD равна b, а сумма ее оснований
равна a. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке T. Найти MT.

Answer 1

∠A+∠B=180 (внутренние односторонние при параллельных)

Рассмотрим △ABM: ∠A/2 +∠B/2 =90 => ∠M=90

Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных пересекаются под прямым углом.

Пусть Е - середина AB.

Тогда ME - медиана из прямого угла - равна половине гипотенузы.

ME=AB/2

△BEM - равнобедренный, ∠EMB=∠EBM=∠CBM

ME||BC (по накрест лежащим)

Точка пересечения биссектрис углов при боковой стороне трапеции лежит на средней линии.

Итак, точки М и Т лежат на средней линии.

EF =(BC+AD)/2 =a/2

Отрезки ME и TF равны половинам боковых сторон.

ME+TF =(AB+CD)/2 =b/2

Если a>b (то есть EF>ME+TF), то MT =EF-ME-TF =(a-b)/2

Если a<b, то MT =ME-(EF-TF) =(b-a)/2

Если a=b, то MT =0 (точки совпадают)

Ответы можно объединить: MT =|a-b|/2