Question

Даны координаты вершин треугольника
ABC

. Найти:
1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты;

2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой;

3) уравнение высоты CD и ее длину;

4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD

A (-3;10)

B (9;1)

C (7;15)

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника  ABC :

A (-3; 10), B (9; 1), С (7;15). Найти:

1) уравнения сторон AB и AC и их угловые коэффициенты (к).

Вектор АВ = (9-(-3); 1-10) = (12; -9), к = -9/12 = -3/4.

Вектор АС = (7-(-3); 15-10) = (10; 5), к = 5/10 = 1/2.

Уравнения сторон:

АВ: (x + 3)/12 = (y -10)/(-9) это канонический вид.

АВ: у = (-3/4)х + в, подставим координаты точки А: 10 = (-3/4)*(-3) + в, отсюда в = 10 - (9/4) = 31/4. Имеем уравнение с угловым коэффициентом. АВ: у = (-3/4)х + (31/4).

АС: (x + 3)/10 = (y -10)/5.

у = (1/2)х + в, 10 = (1/2)*(-3) + в, в = 10 + (3/2) = 23/2.

АС: у = (1/2)х + (23/2).

2) угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой.

Вектор АВ = (12; -9), модуль равен √(144 + 81) = √225 = 15.

Вектор АС = (10; 5),модуль равен √(100 + 25) = √125 = 5√5.

cos A = (12*10+(-9)*5)/(15*5√5) = 1/√5 ≈ 0,447213595  

A = 1,10715 радиан  или 63,43495 градусов .

3) уравнение высоты CD и ее длину;

к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(-3/4) = 4/3.

СД: у = (4/3х + в, т.С: 15 = (4/3)*7 + в, в = 15 - 28/3 = 17/3.

СД: у = (4/3)х + (17/3).

Находим площадь треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 75 .

h(CD) = 2S/|AB| = 2*75/15 = 10.

4) уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .

АE :          Х-Ха      =     У-Уа      

        Ха1-Ха                Уа1-Уа      

у = -0,181818182 х + 9,454545455           АE : -2 Х + -11 У + 104 = 0 .

АE : у = -0,181818182 х + 9,454545455

СD: у = 1,333333333 х + 5,666666667

     

Точка пе  Х = 2,5,  

ресечения  У = 9.