Question

В правильной четырёхугольной пирамиде апофема равна 4 см, а боковое ребро - 5 см. Найдите: 1) Сторону основания пирамиды; 2) Высоту пирамиды; 3) Полную поверхность пирамиды.

Answer 1

$SABCD-$ правильная четырехугольная пирамида
$SM=4$ см
$AS=5$ см
$AD-$ ?
$SO-$ ?
$S_{nol} -$ ?

1)
$SABCD-$ правильная четырехугольная пирамида, значит
$ABCD-$ квадрат
$AB=BC=CD=AD$
$AC$ ∩ $BD=O$
$SO$ ⊥ $(ABC)$
$SM$ ⊥ $AD$ ⇒ Δ $SMA-$ прямоугольный
по теореме Пифагора найдем AM:
$AM^2=AS^2-SM^2$
$AM^2=5^2-4^2$
$AM^2=9$
$AM=3$
$AM=MD=3$
$AD=2*AM=2*3=6$ (см)
2)
$AC$ ∩ $BD=O$
$AO=OC=OD=OB$
$d=a sqrt{2}$
$AC=AD sqrt{2}$
$AC=6 sqrt{2}$ (см)
$AO= frac{1}{2}AC$
$AO= frac{1}{2}*6 sqrt{2} =3 sqrt{2}$ (см)
$SO$ ⊥ $(ABC)$  ⇒ Δ $SOA-$ прямоугольный
по теореме Пифагора найдем SO:
$SO^2=AS^2-AO^2$
$SO^2=5^2-(3 sqrt{2} )^2$
$SO^2=7$
$SO= sqrt{7}$ (см)
3)
$S_{nol}= S_{ocn}+ S_{bok}$
$S_{ocn}=a^2$
$S_{ocn}=AD^2$
$S_{ocn}=6^2=36$ (см²)
$S_{bok} = frac{1}{2} P_{ocn}*l$
$S_{bok} = frac{1}{2} P_{ABCD}*SM$
$P_{ocn}=4*AD$
$P_{ocn}=4*6=24$
$S_{bok} = frac{1}{2} *24*4=48$ (см²)
$S_{nol} =36+48=84$ (см²)

Ответ: 6 см;  √7 см; 84 см²