Question

Срочно найти экстремумы функций

Answer 1

Ответ:

Минимум $-\frac{1}{2}$ в $x=-1$

Максимум $\frac{1}{2}$ в $x=1$

Пошаговое объяснение:

$f(x)=\frac{x}{1+x^2} ; x\in\mathbb R$

Чтобы найти экстремум функции нужно узнать производную

$f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$

Чтобы найти критические точки нужно вместо f(x) подставить 0

$0=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$

$x=-1\\x=1$

Интервалы

$(-\infty; -1);(-1;1)\\(-1;1);(1;+\infty)$

1 Точка из интервала

$x_{1}=-2\\x_{2}=0\\x_{3}=0\\x_{4}=2$

Значения производных в точках

$f'(-2)=-\frac{3}{25} \\f'(0)=1\\f'(0)=1\\f'(2)=-\frac{3}{25}$

Поскольку производная отрицательна для $x<-1$ и положительна для $-1<x<1$ то функция имеет минимум в x=-1

$f(x)=\frac{x}{1+x^2} ; x=-1$

Поскольку производная положительна для $-1<x<1$ и отрицательна для $1<x<+\infty$ функция имеет максимум в x=1

$f(x)=\frac{x}{1+x^2};x=1$

Значения функций

$f(-1)=-\frac{1}{2} \\f(1)=\frac{1}{2}$

Минимум $-\frac{1}{2}$ в $x=-1$

Максимум $\frac{1}{2}$ в $x=1$