Question

Решить уравнение:

$x=\sqrt{x+11}+1$

Answer 1

$x = \sqrt{x+11}+1\\\\x - 1 = \sqrt{x+11}$

Найдём область допустимых значений переменной $x$. Подкоренное выражение и значение корня всегда неотрицательны:

$\begin{equation*}\begin{cases}x + 11 \geq 0\\x - 1\geq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x \geq -11\\x \geq 1\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x\geq 1}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$(x-1)^2 = x + 11\\\\x^2 - 2x + 1 - x - 11 = 0\\\\x^2 - 3x - 10 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = -10\\x_{1} + x_{2} = 3\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 5; x = -2\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x = 5}}$

-2 не подходит под область допустимых значений, поэтому корнем уравнения не является. Уравнение имеет одно решение.

Ответ: 5.