Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА,СРОЧНО НУЖНО

Answer 1

1)

$\dfrac{x^2}{x+3} - \dfrac{x}{x+3} = 0\\\\\\\dfrac{x^2-x}{x+3} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

$x + 3\neq 0\\\\\boxed{x \neq -3}$

Приравниваем числитель к нулю:

$x^2 - x = 0\\\\x(x - 1) = 0\\\\ \left[\begin{gathered}x = 0\\x = 1\end{gathered}$

Ответ: 0; 1.

2)

$\dfrac{x^2}{x^2 - 4} - \dfrac{5x-6}{x^2 - 4} = 0\\\\\\\dfrac{x^2 - 5x +6}{(x-2)(x+2)} = 0$

Знаменатель неравен нулю.

$(x-2)(x+2) \neq 0\\\\\boxed{x\neq \pm 2}$

Приравниваем числитель к нулю.

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = 6\\x_{1} + x_{2} = 5\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 2; x = 3\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x = 3}}$

2 не подходит, поскольку при этом значении знаменатель обращается в 0. Уравнение имеет 1 корень.

Ответ: 3.

3)

$\dfrac{x+2}{x} - \dfrac{5x+1}{x+1} = 0\\\\\\\dfrac{(x+2)(x+1)}{x(x+1)} - \dfrac{x(5x+1)}{x(x+1)} = 0\\\\\\\dfrac{(x+2)(x+1) - x(5x+1)}{x(x + 1)} = 0\\\\\\\dfrac{x^2 + x + 2x + 2 - 5x^2 - x}{x(x+1)} = 0\\\\\\\dfrac{-4x^2+2x+2}{x(x+1)} = 0$

Знаменатель неравен нулю.

$x(x+1)\neq 0\\\\\begin{equation*}\begin{cases}x \neq 0\\x \neq -1\end{cases}\end{equation*}$

Приравниваем числитель к нулю:

$-4x^2 + 2x + 2 = 0\\\\-2(2x^2 - x - 1) = 0\ \ \ \ \ \Big| :(-2)\\\\2x^2 - x - 1 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\cdot 2\cdot (-1)= 1 + 8 = 9\\\\x_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-1)+3}{2\cdot 2} = \dfrac{1 + 3}{4} = \dfrac{4}{4} = \boxed{\bf{1}}\\\\\\x_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-1)-3}{2\cdot 2} = \dfrac{1-3}{4} = \dfrac{-2}{4} = \boxed{\bf{-\dfrac{1}{2}}}$

Ответ: $-\dfrac{1}{2}; 1$ .

4)

$\dfrac{2x-1}{x+7} - \dfrac{3x+4}{x-1} = 0\\\\\\\dfrac{(2x-1)(x-1)}{(x+7)(x-1)} - \dfrac{(3x+4)(x+7)}{(x+7)(x-1)} = 0\\\\\\\dfrac{(2x-1)(x-1) - (3x+4)(x+7)}{(x+7)(x-1)} = 0\\\\\\\dfrac{2x^2 - 2x - x + 1 - (3x^2 + 21x + 4x + 28)}{(x+7)(x-1)} = 0\\\\\\\dfrac{2x^2 - 3x + 1 -(3x^2 + 25x + 28)}{(x+7)(x-1)} = 0\\\\\\\dfrac{2x^2-3x+1-3x^2 - 25x - 28}{(x+7)(x-1)} = 0\\\\\\\dfrac{-x^2-28x-27}{(x+7)(x-1)} = 0$

Знаменатель неравен нулю.

$(x+7)(x-1) \neq 0\\\\\begin{equation*}\begin{cases}x \neq -7\\x \neq 1\end{cases}\end{equation*}$

Приравниваем числитель к нулю:

$-x^2 - 28x - 27 = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot(-1)\\\\x^2 + 28x + 27 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = 27\\x_{1} + x_{2} = -28\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = -27; x = -1$

Ответ: $-27; -1$.