Question

4 sin 2x+cos^2 2x = 4

Answer 1

$4\sin 2x + \cos^2 2x = 4\\\\4\sin 2x + 1 -\sin^2 2x - 4 = 0\\\\-\sin^22x + 4\sin 2x - 3 = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot (-1)\\\\\sin^22x - 4\sin 2x + 3 = 0$

Введём замену:  $t = \sin 2x\ ,\ t\in[-1; 1]$ .

$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}t_{1}t_{2} = 3\\t_{1} + t_{2} = 4\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| t = 3; t = 1\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{t = 1}}$

Корень 3 не находится в области допустимых значений переменной $t$, поэтому он не является решением.

Обратная замена:

$\sin 2x = 1\\\\2x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\\\\\\\boxed{\bf{x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k}}}\ ,\ k\in\mathbb{Z}$