Question

6. На приведенном ниже рисунке показаны треугольники А, В и С.
a) Поворот отображает треугольник А в треугольник С. Найдите:
1) координаты центра этого поворота;
2) угол и направление этого поворота.
b) Опишите полностью преобразование, которое переводит треугольник А в треугольник В.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Прежде всего отметим точки, которые нам понадобятся.

Для фигуры А: точка А(2; 1) и точка В(0; 1)

Для фигуры С: точка A'(-3; 4) і точка  B'(-3; 2)

а) пусть центром поворота будет точк М(х; у)

тогда должны выполняться равенства

$\displaystyle\left \{ {{|AM|=|A'M|} \atop {|BM|=|B'M|}} \right.$

Запишем расстояние между точками.

$\displaystyle \left \{ {{\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} =\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2} } \atop {\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2} =\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2} }} \right.$

Теперь, когда мы решим эту систему уравнений, мы получим координаты точки М(х; у)

Возводим в квадрат, умножаем второе на (-3), складываем. получаем значение х, подставляем его во второе уравнение и получаем значение у.

$\displaystyle \left \{ {{x^2-4x+4+y^2-2y+1=x^2+6x+9+y^2-8y+16} \atop {x^2+y^2-2y+1=x^2+6x+9+y^2-4y+4\hfill}} \right. \\\\\\\left \{ {{-4x+4-2y+1-6x-9+8y-16=0} \atop {-2y+1-6x-9+4y-4=0\hfill}} \right. \\\\\\\left \{ {{-10x+6y-20=0} \atop {-6x+2y-12=0}} \right. \\\\\\8x+16=0;\quad \\\\x=-2;\quad y=0$

Итак, координаты точки центра этого поворота (-2; 0)

б)

отметим на плоскости точку М(-2; 0) и соединим ее с точками А' и А

Мы получили два вектора МА' и MA

Найдем эти вектора по двум точкам

$\displaystyle \overrightarrow{MA'}=\{A'_x - M_x; A'_y - M_y\} = \{-3 - (-2); 4 - 0\} = \{-1; 4\}\\\\\\\overrightarrow{MA}=\{A_x - M_x; A_y - M_y\} = \{2 - (-2); 1 - 0\} = \{4; 1\}$

и теперь угол между векторами

скалярное произведение векторов.

Для удобства записи я обозначу    $\displaystyle \overrightarrow {MA'}= \vec a;\qquad \overrightarrow {MA}= \vec b$,

тогда ищем угол vежду векторами  $\vec a$  и  $\vec b$

скалярное произведение векторов

$\displaystyle \vec a *\vec b = a_x *b_x + a_y *b_y = (-1) *4 + 4 *1 = -4 + 4 = 0$

Если скалярное произведение векторов равно 0, то вектора перпендикулярны.

Итак, угол  поворота = 90°, направление поворота - против часовой стрелки.

b)

При преобразовании фигуры  А в фигуру В каждая точка фигуры А переходит в точку фигуры В, симметричную относительно некоторой прямой. Такое преобразование называется преобразование симметрии относительно прямой.

Чтобы отобразить фигуры в симметрии относительно прямой, достаточно отобразить соответствующие вершины.

Таким образом процесс преобразования, которое переводит треугольник А в треугольник В, заключается в построении точек, симметричных вершинам треугольника А, относительно некоторой заданной прямой.

Поскольку у нас преобразование уже проведено, а прямая нам не задана, мы можем найти эту прямую, относительно которой треугольники симметричны.

Возьмем на прямой любую точку М(х; у),

вершину треугольника А а(2; 1)

Вершину треугольника В b(2; -3).

Расстояние между точками М и а должно равняться расстоянию между точками М и b.

Запишем это

$\displaystyle |Ma|=|Mb|\\\\\sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2} =\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} \\\\(x-2)^2+(y+3)^2=(x-2)^2+(y-1)^2\\\\(y+3)^2=(y-1)^2\qquad \Rightarrow \quad y = -1$

Поскольку у нас х сократился, значит при у= (-1)  и любом х уравнение превращается в равенство.

Т.е. мы имеем прямую у = -1

Таким образом мы имеем преобразование симметрии относительно прямой у = -1