Question

Даю сорок баллов, помогите решить. Подробное решение.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

17.$2 \sin {}^{2} (x) + 3 \cos(x) - 3 = 0$

ОДЗ: x - любые

По основному тригонометрическому тождеству

$\sin {}^{2} (x) = 1 - \cos {}^{2} (x)$

Значит

$2(1 - \cos {}^{2} (x) ) + 3 \cos {}^{2} (x) - 3 = 0$

Раскроем скобки

$2 - 2 \cos {}^{2} (x) + 3 \cos(x) - 3 = 0$

Приведем подобные и умножим все уравнение на - 1

$2 \cos {}^{2} (x) - 3 \cos(x) + 1 = 0$

Пусть

$\cos(x) = m$

Получаем

$2 {m}^{2} - 3m + 1 = 0$

Дискриминант равен

$9 - 4\times 2 \times 1 = 1$

Корни

$1$

и

$\frac{1}{2}$

Значит,

$\cos(x) = 1$

$x = 2\pi \: n$

Или

$\cos(x) = \frac{1}{2}$

$x = + - \frac{\pi}{3} + 2\pi \: n$

Оба корня входят в ОДЗ.

18.

$7 \sin {}^{2} (x) - 5 \cos {}^{2} (x) + 2 = 0$

ОДЗ: x - любые

Пусть

$\sin {}^{2} (x) = 1 - \cos {}^{2} (x)$

Тогда уравнение будет выглядеть

$7 - 7 \cos {}^{2} (x) - 5 \cos {}^{2} (x) + 2 = 0$

Приведем подобные, оставив переменные слева, а числа - справа:

$- 12 \cos {}^{2} (x) = - 9$

Откуда

$\cos {}^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Тогда

$\cos(x) = - \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Или

$\cos(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

В первом случае

$x = + - \frac{5 \pi }{6} + 2\pi \: n$

Во втором случае

$x = + - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: n$

Оба корня входят в ОДЗ.

Удачи!

В качестве благодарности сойдёт лайк и 5 звёзд!)))

Answer 2

Ответ:

$\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z}; \quad \quad 2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

$\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z}; \quad \quad \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

Пошаговое объяснение:

$17. \quad 2sin^{2}x+3cosx-3=0;$

$2 \cdot (1-cos^{2}x)+3cosx-3=0;$

$2-2cos^{2}x+3cosx-3=0;$

$-2cos^{2}x+3cosx-1=0;$

$2cos^{2}x-3cosx+1=0;$

$t=cosx;$

$2t^{2}-3t+1=0;$

$2-3+1=-1+1=0 \Rightarrow t_{1}=\frac{1}{2}, \quad t_{2}=1;$

$cosx=\frac{1}{2} \quad \vee \quad cosx=1;$

$x= \pm arccos(\frac{1}{2})+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z} \quad \vee \quad x= \pm arccos(1)+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

$x= \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z} \quad \vee \quad x=2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

$18. \quad 7sin^{2}x-5cos^{2}x+2=0;$

$7 \cdot (1-cos^{2}x)-5cos^{2}x+2=0;$

$7-7cos^{2}x-5cos^{2}x+2=0;$

$-12cos^{2}x=-9;$

$12cos^{2}x=9;$

$cos^{2}x=\frac{9}{12};$

$cos^{2}x=\frac{3}{4};$

$cosx= \pm \sqrt{\frac{3}{4}};$

$cosx=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \vee \quad cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2};$

$x= \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z} \quad \vee \quad x= \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

$x= \pm \frac{\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z} \quad \vee \quad x= \pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$