Question

Решите пожалуйста систему неравенств:

Answer 1

$\begin{equation*}\begin{cases}\log_{3}(6x-1) \leq \log_{3}(9x+11)\\\log_{6}(3-x) > \log_{6}(4x-1)\end{cases}\end{equation*}$

Для начала найдём область допустимых значений переменной $x$, учитывая все накладываемые на неё ограничения.

$\begin{equation*}\begin{cases}6x - 1 > 0\\9x + 11 > 0\\3 - x > 0\\4x - 1 > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x > \dfrac{1}{6}\\\\x > -\dfrac{11}{9}\\\\x < 3\\\\x > \dfrac{1}{4}\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x\in \left(\dfrac{1}{4}; 3\right)}}$

Продолжаем решать систему неравенств, но добавляем в неё наше новое ограничение.

$\begin{equation*}\begin{cases}6x - 1 \leq 9x + 11\\3 - x > 4x - 1\\x \in \left(\dfrac{1}{4}; 3\right)\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}-3x\leq 12\\-5x > -4\\x \in \left(\dfrac{1}{4}; 3\right)\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x \geq -4\\x < \dfrac{4}{5}\\\\x \in \left(\dfrac{1}{4}; 3\right)\end{cases}\end{equation*}$

Откуда получаем, что:

$\boxed{\bf{x\in \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{4}{5}\right)}}$