Question

алгебра........................

Answer 1

Ответ:

1.

$F(x) = \int\limits( \frac{ {x}^{3} }{2} - \cos(3x) )dx = \\ = \frac{ {x}^{4} }{2 \times 4} - \frac{1}{3} \int\limits \cos(3x) d(3x) = \\ = \frac{ {x}^{4} }{8} - \frac{1}{3} \sin(3x) + C$

2.

$F(x) = \int\limits \frac{6dx}{ {(4 - 3x)}^{2} } = - \int\limits \frac{6d( - x)}{ {(4 - 3x)}^{2} } = \\ = - \int\limits \frac{2 \times 3d( - x)}{ {(4 - 3x)}^{2} } = - \int\limits \frac{2d( - 3x)}{ {(4 - 3x)}^{2} } = \\ = - 2\int\limits {(4 - 3x)}^{ - 2} d(4 - 3x) = \\ = - 2 \times \frac{ {(4 - 3x)}^{ - 1} }{( - 1)} + C = \frac{2}{4 - 3x} + C$

подставим известные данные и найдем С:

$F( \frac{3}{2} ) = 1$

$\frac{3}{2} = \frac{2}{4 - 3} + C \\ C= \frac{3}{2} - 2 = \frac{1}{2}$

$F(x) = \frac{2}{4 - 3x} + \frac{1}{2 } = \frac{4 + 4 - 3x}{2(4 - 3x)} = \\ F(x) = \frac{8 - 3x}{2(4 - 3x)}$

3.

$\int\limits( {x}^{2} - 6x + 9)dx = \int\limits {(x - 3)}^{2} dx = \\ =\int\limits {(x - 3)}^{2} d(x - 3) = \frac{ {(x - 3)}^{3} }{3} + C$

подставляем пределы (2 и - 1):

$\frac{1}{3} ({(2 - 3)}^{3} - {( - 1 - 3)}^{3} ) = \\ = \frac{1}{3} ( - 1 - ( - 64)) = \frac{63}{3} = 21$

Answer 2

Ответ:

$F(x)=\frac{1}{8} \cdot x^{4}-\frac{1}{3} \cdot sin3x+C, \quad C-const;$

$F(x)=\frac{2}{4-3x}-2C, \quad C-const; \quad F(x)=\frac{2}{4-3x}+5;$

$21;$

Объяснение:

$1. \quad f(x)=\frac{x^{3}}{2}-cos3x;$

$F(x)=\int\ {(\frac{x^{3}}{2}-cos3x)} \, dx ;$

$F(x)=\int\ {\frac{x^{3}}{2}} \, dx -\int\ {cos3x} \, dx ;$

$d(3x)=((3x)')dx=3dx;$

$F(x)=\frac{1}{2} \int\ {x^{3}} \, dx - \frac{1}{3} \int\ {cos3x} \, d(3x) ;$

$F(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}-\frac{1}{3} \cdot sin3x+C, \quad C-const;$

$F(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{4}}{4}-\frac{1}{3} \cdot sin3x+C, \quad C-const;$

$F(x)=\frac{1}{8} \cdot x^{4}-\frac{1}{3} \cdot sin3x+C, \quad C-const;$

Проверка:

$F'(x)=(\frac{1}{8} \cdot x^{4}-\frac{1}{3} \cdot sin3x+C)'=(\frac{1}{8} \cdot x^{4})'-(\frac{1}{3} \cdot sin3x)'+C'=\frac{1}{8} \cdot 4x^{4-1}-$

$-\frac{1}{3} \cdot cos3x \cdot 3+0=\frac{1}{8} \cdot 4x^{3}-cos3x=\frac{x^{3}}{2}-cos3x=f(x);$

Первообразная найдена верно.

$2. \quad f(x)=\frac{6}{(4-3x)^{2}};$

$F(x)=\int\ {\frac{6}{(4-3x)^{2}}} \, dx ;$

$F(x)=6\int\ {\frac{dx}{(4-3x)^{2}}} \ ;$

$d(4-3x)=(4'-(3x)')dx=(0-3)dx=-3dx;$

$F(x)=6 \cdot (-\frac{1}{3})\int\ {\frac{-3dx}{(4-3x)^{2}}} \ ;$

$F(x)=-2\int\ {\frac{d(4-3x)}{(4-3x)^{2}}} \ ;$

Введём замену:

$t=4-3x;$

$F(t)=-2\int\ {\frac{dt}{t^{2}}} \ ;$

$F(t)=-2 \int\ {t^{-2}} \, dt ;$

$F(t)=-2 \cdot (\frac{t^{-2+1}}{-2+1}+C), \quad C-const;$

$F(t)=-2 \cdot (\frac{t^{-1}}{-1}+C), \quad C-const;$

$F(t)=2 \cdot \frac{1}{t}-2C, \quad C-const;$

Вернёмся к замене:

$F(x)=\frac{2}{4-3x}-2C, \quad C-const;$

$F(\frac{3}{2})=1 \Rightarrow x=\frac{3}{2}, \quad y=1;$

$\frac{2}{4-3 \cdot \frac{3}{2}}-2C=1;$

$\frac{2}{4-\frac{9}{2}}-2C=1;$

$\frac{2}{-\frac{1}{2}}-2C=1;$

$-4-2C=1;$

$-2C=1+4;$

$-2C=5;$

$C=-\frac{5}{2};$

$F(x)=\frac{2}{4-3x}-2 \cdot (-\frac{5}{2});$

$F(x)=\frac{2}{4-3x}+5;$

$3. \quad \int\limits^{2}_{-1} {(x^{2}-6x+9)} \, dx =\int\limits^{2}_{-1} {x^{2}} \, dx - 6\int\limits^{2}_{-1} {x} \, dx + \int\limits^{2}_{-1} {9} \, dx= \frac{x^{2+1}}{2+1} \bigg |_{-1}^{2}-6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} \bigg |_{-1}^{2}+$

$+9x \bigg |_{-1}^{2}=\frac{x^{3}}{3} \bigg |_{-1}^{2}-6 \cdot \frac{x^{2}}{2} \bigg |_{-1}^{2}+(9 \cdot 2-9 \cdot (-1))=\frac{2^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}-3 \cdot (2^{2}-(-1)^{2})+$

$+(18+9)=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-3 \cdot (4-1)+27=3-12+3+27=21;$