Question

Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1, а сумма знаменателей равна 3.

Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна 573.

Answer 1

$b_{1}=b_{1}'=1\ q+q'=3\ b_{6}+b_{6}'=573\ \ b_{1}q^5+b_{1}'q^5'=573\ q^5+q^5'=573\ q+q'=3\ \ q=3-q'\ (3-q')^5+q^5'=573\ 5q^4' - 30q^3'+90q^2'-135q'+81=191\ 5q^4'-30q^3'+90q^2'-135q'-110=0\ 5(q^4'-6q^3'+18q^2'-27q'-22)=0\ (q^2'-3q'-2)(q^2'-3q'+11)=0\ q^2'-3q'-2=0\ D=9+4*1*2=sqrt{17}^2\ q'=frac{3+sqrt{17}}{2}\ q=frac{3-sqrt{17}}{2}\ b_{5}=q^4=frac{3+sqrt{17}}{2}^4\ b_{5}'=q^4'=frac{3-sqrt{17}}{2}^4\ S=frac{3+sqrt{17}}{2}^4+frac{3-sqrt{17}}{2}^4=161$

Ответ 161