Точка м віддалена від усіх сторін квадрата на 5 см, а від площини квадрата на 3см. Знайдіть відстань від точки M до вершини квадрата.
Ответы
Ответ:
√41 см
Объяснение:
Пусть МО - перпендикуляр к плоскости квадрата,
МО = 3 см.
Проведем из точки О перпендикуляры ОК, OL, OР, ON к сторонам квадрата. Эти отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость квадрата, значит
МK⊥AB, МL⊥BC, МР⊥CD, МN⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
Значит, по условию MK = ML = MP = MN = 5 см.
ΔMOK = ΔMOL = ΔMOP = ΔMON по гипотенузе и катету (MK = ML = MP = MN, МО - общий катет), значит
OK = OL = OP = ON, тогда О - центр вписанной в квадрат окружности - точка пересечения диагоналей.
ΔОКМ - прямоугольный, египетский, ОК = 4 см.
AD = 2ОК = 2 · 4 = 8 см, так как ОК - средняя линия ΔABD.
АС = AD√2 как диагональ квадрата
АС = 8√2 см
СО = 0,5 · АС = 4√2 см (диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам)
ΔМОС: ∠МОС = 90°, по теореме Пифагора
МС = √(ОС² + МО²) = √(16 · 2 + 9) = √41 см
Так как ΔМОА = ΔМОВ = ΔМОС = ΔMOD по двум катетам (МО - общий, и половины диагоналей равны), то расстояние от точки М до всех вершин квадрата одинаковое.
