Question

Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме членов без последних трех равно 4/3.

Answer 1

пусть наши член равны 
$a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}....a_{n}$ 
$1.$по первому условию , сумма равна 
$frac{a_{1}+a_{2}+...a_{13}}{a_{n-12}...+a_{n-1}+a_{n}}=0.5$
это же условие можно переписать в виде 
$S_{13}=(a_{1}+6d)*13$
а последний 13 можно в виде 
$S_{13}'=13(a_{1}+d(n-7))$
по условию следует что 
$frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = frac{1}{2}$
$2.$ По второму условию задачи следует что 
$S_{n}-(a_{1}+a_{2}+a_{3})$
ее можно переписать в виде 
$frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d)$
а последние без трех можно переписать в виде 
$frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6))$
заметим то что 
$frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n - (3a_{1}+3d) = (frac{n}{2}-frac{3}{2})(dn+2d+2a_{1})$
$frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n-(3a_{1}+d(3n-6)) = (frac{n}{2}-frac{3}{2})(dn-4d+2a_{1})$
по условию получаем 
$frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=frac{4}{3}$

получаем систему уравнений
$frac{a_{1}+6d}{a_{1}+d(n-7)} = frac{1}{2}\ frac{dn+2d+2a_{1}}{dn-4d+2a_{1}}=frac{4}{3}\ \ 2(a_{1}+6d)=a_{1}+dn-7d\ 3(dn+2d+2a_{1})=4(dn-4d+2a_{1})\ \ a_{1}+19d=dn\ 22d-2a_{1}=dn\ \ a_{1}+19d=22d-2a_{1}\ 3a_{1}=3d\ a_{1}=d\ \ frac{7d}{d+dn-7d}=0.5\ frac{dn+4d}{dn-2d}=frac{4}{3}\\ 7d=0.5d+0.5dn-3.5d\ 3dn+12d=4dn-8d\\ n=20$
Ответ  $20$