Question

Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, равны 3 и 4 см, а угол, заключенный между ними, равен 60°. Большая диагональ параллелограмма равна
[2] 2/5+12/3 [3]2/5 - 12/3 [4] 2/39
3

Answer 1

Ответ:

$AC=\dfrac{2\sqrt{111}}{3}$

Объяснение:

Сумма углов четырехугольника 360°.

∠D = 360° - ∠BHD - ∠BKD - ∠HBK = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°

Противоположные углы параллелограмма равны:

∠B = ∠D = 120°

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма 180°.

∠A = ∠C = 180° - 120° = 60°

ΔАВН:   ∠АНВ = 90°

$\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}$

  $AB=\dfrac{BH}{\sin 60^\circ}=3:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

ΔCBK:   ∠CKB = 90°

$\sin\angle C=\dfrac{BK}{BC}$

$BC=\dfrac{BK}{\sin 60^\circ}=4:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{8}{\sqrt{3}}$

Из ΔАВС по теореме косинусов:

$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle ABC$

$\cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\dfrac{1}{2}$

$AC^2=(2\sqrt{3})^2+\left(\dfrac{8}{\sqrt{3}}\right)^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot \dfrac{8}{\sqrt{3}}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)$

$AC^2=12+\dfrac{64}{3}+16=28+\dfrac{64}{3}=\dfrac{148}{3}$

$AC=\sqrt{\dfrac{148}{3}}=\dfrac{2\sqrt{37}}{\sqrt{3}}$

$AC=\dfrac{2\sqrt{111}}{3}$