Question

$frac{1}{1*2} + frac{1}{2*3} + frac{1}{3*4} + ... + frac{1}{n*(n+1)}$

Answer 1

Выведем сумму рекурентным способом , то есть для начало примем $n=1$ тогда сумма запишется в виде 
$frac{1}{n(n+1)}+frac{1}{(n+1)(n+2)}= frac{2}{n(n+2)}(1)\ frac{2}{n(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}= frac{3}{n(n+3)}(2)\ frac{3}{n(n+3)}+frac{1}{(n+3)(n+4)}=frac{4}{n(n+4)}(3)$ теперь заметим что числитель и знаменатель взаимосвязаны соотношением 
Пусть $z$ это конечная сумма , то есть какое то определенное число   
то в  общем  в виде можно записать сумму как 
$S_{n}=frac{1}{1*2}+frac{1}{2*3}+frac{1}{3*4}.....+ frac{1}{(n+z)(n+z+1)}\ S_{n}=frac{z+1}{n(n+z+1)}$
$S_{n}=frac{n}{n+1}$