Question

Частица совершает простое гармоническое движение. Отклонение от центра колебания частицы равно x метрам в момент времени t секунд
Покажите, что функция x=Acos6t+Bsin6t является общим решением дифференциального уравнения:
(d^2 x)/(dt^2 )+36x=0
Частное решение дифференциального уравнения при t=π/4 такое, что x=-2 и dx/dt=12√3. Найдите значение A и значение B, определите это частное решение.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдем вторую производную от решения   x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t)

$\displaystyle \frac{dx}{dt } = \bigg (Acos(6t) +Bsin(6t)\bigg )'_t=-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\\\\\\\frac{d^2x}{dt^2} =\bigg (-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\bigg )'_t=-36Acos(6t)-36Bsin(6t)$

Дальше   x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t) подставим в полученную вторую производную

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} =-36x\qquad \qquad \frac{d^2x}{dt^2} +36x=0$

т.е мы получили исходное дифференциальное уравнение.

Следовательно, x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t) есть общее решение этого уравнения. Что и требовалось доказать.

Дальше будем искать частное решение.

Возьмем первое условие

$\displaystyle x=Acos(6t)+Bsin(6t)\\\\-2 = Acos\bigg(\frac{6\pi }{4} \bigg)+Bsin\bigg(\frac{6\pi }{4} \bigg)\\\\-2=A*0+B*(-1)\\\\\boldsymbol {B=2}$

Теперь второе условие

$\displaystyle \frac{dx}{dt} =-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\\\\12\sqrt{3} = -6Asin\bigg(\frac{3\pi}{2} \bigg)+6Bcos\bigg(\frac{3\pi}{2} \bigg)\\\\12\sqrt{3} =-6A*(-1)+6B*0\qquad \qquad \\\\\boldsymbol {A=2\sqrt{3} }$

И тогда частное решение будет

$\boldsymbol {x(t)=2\sqrt{3} cos(6t)+2sin(6t)}$