Question

Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6 , если второй член равен (-0,5)

Answer 1

Ответ:

$q=- \dfrac{1}{4}$

Объяснение:

Сумма бесконечной геометрической прогрессии определяется по формуле:

$S= \dfrac{b{_1} }{1-q }$

Тогда

$\dfrac{b{_1} }{1-q } =1,6$

По условию $b{_2}= -0,5$

Второй член последовательности запишем по формуле n- го члена, как произведение первого члена на знаменатель геометрической прогрессии.

$b{_2}= b{_1}\cdot q \\\\b{_1}= \dfrac{b{_2} }{q}$

Тогда первый член равен

$b{_1}= \dfrac{-0,5}{q}$

$\dfrac{\dfrac{-0,5}{q} }{1-q } =1,6;\\\\\dfrac{-0,5}{q(1-q)} = \dfrac{8}{5} ;\\8q(1-q) =-2,5|\cdot2;\\16q(1-q)= -5;\\16q-16q^{2} +5=0;\\16q^{2}-16q-5=0;$

$D= (-16) ^{2} -4\cdot16\cdot(-5)= 16^{2} +16\cdot20=16\cdot(16+20)=16\cdot36;\\\sqrt{D} =4\cdot6=24;\\\\q{_1}= \dfrac{16-24}{2\cdot16} =\dfrac{-8}{32} =- \dfrac{1}{4} ;\\\\\\q{_2}= \dfrac{16+24}{2\cdot16} =\dfrac{40}{32} = \dfrac{5}{4} =1\dfrac{1}{4}$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $|q| <1$.

Значит,

$q=- \dfrac{1}{4} .$

Answer 2

Ответ:

q = -0,25

Объяснение:

Известно:

1) сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = 1,6;

2) второй член b₂ = -0,5.

Нужно знать:

1)  общий член геометрической прогрессии определяется по формуле

$\tt b_n=b_{n-1} \cdot q.$

2) сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется по формуле

$\tt S=\dfrac{b_1}{1-q}, \; |q|<1.$

Решение. Второй член прогрессии представим следующим образом

$\tt b_2=b_1 \cdot q.$

Тогда

$\tt \dfrac{b_1}{1-q}=1,6\\\\\dfrac{b_1 \cdot q}{1-q}=1,6 \cdot q\\\\\dfrac{b_2}{1-q}=1,6 \cdot q\\\\\dfrac{-0,5}{1-q}=1,6 \cdot q$

1,6·q·(1-q) = -0,5

1,6·q·(q-1) = 0,5

1,6·q² - 1,6·q - 0,5=0

D=(-1,6)²-4·1,6·(-0,5)=2,56+3,2=5,76=2,4²

q₁ = (1,6-2,4)/(2·1,6) = -0,8/3,2 = -1/4 = -0,25,

q₂ = (1,6+2,4)/(2·1,6) = 4/3,2 = 1,25.

Так как

|-0,25| < 1 - подходит,

|1,25| > 1 - не подходит.