Question

Помогите решить 2 задачу.

Answer 1

Дано:

Сфера (O;R) вписана в правильную пирамиду SABCD

SABCD - правильная пирамида

Rс = 12 см

r = 6 см

------------------------------------------------------------------------------------

Найти:

$V_{SABCD} - ?$

Решение:

1) Пусть AB = x см, тогда AD = x см.

Так как ΔBAD - прямоугольный (∠BAD = 90°), тогда используется по теорему Пифагора:

BD² = AB² + AD²    BD = 2BO₁ = 2×6 см = 12 см

12² = x² + x²

144 = 2x²

x² = 144/2

x² = 72

x = √72 см ⇒ AB = AD = √72 см

2) Далее находим площадь основания квадрата для правильной пирамиды:

Sосн = AB² - Площадь квадрата.

Sосн = (√72 см)² = 72 см²

3) Далее находим высоту правильной пирамиды:

SO₁ = SO + OO₁ - нахождение высоты правильной пирамиды.

Проводим гипотенузу OA ⇒ ΔOO₁A - прямоугольный (∠OO₁A = 90°), тогда используемся по теореме Пифагора:

AO² = AO₁² + OO₁² ⇒ OO₁ = √AO² - AO₁²

OO₁ = √(12 см)² - (6 см)² = √144 см² - 36 см² = √108 см² = √36×3 см² = 6√3 см

Теперь мы можем найти высоты правильной пирамиды:

SO₁ = SO + OO₁ = 12 см + 6√3 см = 6(2 + √3) см

4) Теперь находим объем правильной пирамиды:

V = 1/3 × Sосн × h - Объем правильной пирамиды.

$V_{SABCD} = \frac{1}{3}*S_{osn.}*SO_{1} = \frac{1}{3}*72 cm^{2}*6(2+\sqrt{3})cm = 24cm^{2}*6(2+\sqrt{3})cm = 144(2+\sqrt{3}) cm^{3} = 288+144\sqrt{3} cm^{3}$

Ответ: $V_{SABCD} = 288+144\sqrt{3} cm^{3}$

P.S. : Рисунок внизу↓