Question

Сколько корней имеет уравнение |x+3|=a-x^2 в зависимости от значения параметра a ? (Алгебра 9 класс)

Answer 1

Ответ:

a ≤ 0 - нет корней

a = 11/4 - один корень

11/4 < a - два корня

Объяснение:

Дано уравнение с параметром:

|x+3|=a-x².

Преобразуем уравнение

|x+3|+x²=a.

1-случай. Пусть a < 0. Так как |x+3| ≥ 0 и x² ≥ 0, и следовательно

|x+3|+x² ≥ 0, то получаем неравенство

0 ≤ |x+3|+x² = a < 0,

то есть 0 < 0, что невозможно.

Значит, когда a < 0 нет корней.

2-случай. Пусть a = 0. Тогда получаем уравнение

|x+3|+x² = 0.

Рассмотрим промежутки.

а) x+3 < 0, то есть x < -3. Тогда |x+3| = -(x+3). Получаем

|x+3|+x² = 0 ⇔ -(x+3)+x² = 0 ⇔ x²-x-3 = 0.

Определим корни последнего квадратного уравнения:

D = (-1)² - 4·1·(-3) = 1 + 12 = 13 > 0,

x₁ = (1-$\sqrt{13}$)/2 > (1-$\sqrt{16}$)/2 > (1-4)/2 = -3/2 > -3 - не подходит,

x₂ = (1+$\sqrt{13}$)/2 > 0 > -3 - не подходит.

б) x+3 ≥ 0, то есть x ≥ -3. Тогда |x+3| = x+3. Получаем

|x+3|+x² = 0 ⇔ x+3+x² = 0 ⇔ x²+x+3 = 0.

Определим корни последнего квадратного уравнения:

D = 1² - 4·1·3 = 1 - 12 = -11 < 0 - нет корней.

Значит, когда a = 0 нет корней.

3-случай. Пусть a > 0. Тогда получаем уравнение

|x+3|+x² = a.

Рассмотрим промежутки.

а) x+3 < 0, то есть x < -3. Тогда |x+3| = -(x+3). Получаем

|x+3|+x² = a ⇔ -(x+3)+x²-a = 0 ⇔ x²-x-(3+a) = 0.

Определим корни последнего квадратного уравнения:

D = (-1)²-4·1·(-(3+a)) = 1 + 12 + 4·a= 13+4·a > 0,

x₁ = (1-$\tt \sqrt{13+4 \cdot a}$)/2 . Определим, когда x₁ < -3:

(1-$\tt \sqrt{13+4 \cdot a}$)/2 < -3 ⇔ 1-

⇔ 7² < ($\tt \sqrt{13+4 \cdot a}$ )² ⇔ 49 < 13+4·a ⇔ 36 < 4·a ⇔ a > 9.

Значит, при a > 9 уравнение имеет корень.

Так как

x₂ = (1+$\tt \sqrt{13+4 \cdot a}$)/2 > 0 > -3 - не подходит,

то при a > 9 есть только один корень.

б) x+3 ≥ 0, то есть x ≥ -3. Тогда |x+3| = x+3. Получаем

|x+3|+x² = a ⇔ x+3+x²-a = 0 ⇔ x²+x+(3-a) = 0.

Определим корни последнего квадратного уравнения:

D = 1² - 4·1·(3-a) = 1 - 12 + 4·a = -11+4·a.

Когда D=-11+4·a < 0, то есть когда a < 11/4 нет корней.

Рассмотрим случай D = -11+4·a = 0, то есть a = 11/4.

Тогда x = -1/2 > - 3 подходит и это единственный корень.

Рассмотрим случай D = -11+4·a > 0, то есть a > 11/4.

Тогда

x₁ = (-1-$\tt \sqrt{-11+4 \cdot a}$)/2 , x₂ = (-1+

Определим, когда x₁ ≥ -3 и x₂ ≥ -3:

(-1-$\tt \sqrt{-11+4 \cdot a}$)/2 ≥ -3 ⇔ 1+

⇔ ( $\tt \sqrt{-11+4 \cdot a}$)² ≤ 5²  ⇔ -11+4·a ≤ 25 ⇔ 4·a ≤ 36 ⇔ a ≤ 9.

(-1+$\tt \sqrt{-11+4 \cdot a}$)/2 ≥ -3 ⇔ -1+

Значит, при a > 11/4 уравнение имеет два корня.