Question

Дана убывающая геометрическая прогрессия (xn):
. Найди знаменатель прогрессии.

Answer 1

Ответ:

$q=\dfrac{1}{2}$

Объяснение:

$\left \{\begin{array}{l} x{_2} + x{_4} = 20 \\ x{_1}\cdot x{_5}=64\end{array} \right.$

Воспользуемся формулой  n-го члена геометрической прогрессии:

$b{_n}=b{_1}\cdot q^{n-1}$

$\left \{\begin{array}{l} x{_1}\cdot q+x{_1{\cdot q^{3} = 20 \\ x{_1}\cdot x{_1}\cdot q^{4} =64 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x{_1}\cdot q(1+ q^{2} )= 20 \\ x{_1}\cdot x{_1}\cdot q^{4} =64 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x{_1}=\dfrac{20}{q(1+q^{2}) }\\ x{_1}\cdot x{_1}\cdot q^{4} =64 \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} x{_1}=\dfrac{20}{q(1+q^{2}) }\\ \dfrac{20}{q(1+q^{2}) }\cdot \dfrac{20}{q(1+q^{2}) }\cdot q^{4} =64 \end{array} \right.$

Решим второе уравнение

$\dfrac{400q^{4} }{q^{2}(1+q^{2} )^{2} } =64;\\\\\dfrac{400q^{2} }{(1+q^{2} )^{2} } =64;\\\\100q^{2} =16(1+q^{2} )^{2} ;\\25q^{2} =4(1+q^{2} )^{2} ;\\25q^{2} =4(1+2q^{2} +q^{4} );\\25q^{2} =4+8q^{2} +4q^{4} ;\\4q^{4}-17q^{2} +4=0$

Пусть$q^{2} =t,t\geq 0$ . Тогда уравнение принимает вид:

$4t^{2} -17t+4=0;\\D=(-17)^{2} -4\cdot 4\cdot 4=289-64=225=15^{2} \\t{_1}= \dfrac{17-15}{8} =\dfrac{2}{8} =\dfrac{1}{4} ;\\\\t{_2}= \dfrac{17+15}{8} =\dfrac{32}{8} =4$

Тогда

$q^{2} =\dfrac{1}{4} ;\\ \left [\begin{array}{l}q= \dfrac{1}{2}, \\ q=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$

$q^{2} =4} ;\\ \left [\begin{array}{l}q=2, \\ q=-2 \end{array} \right.$

Так как по условию геометрическая прогрессия убывающая, то $q=\dfrac{1}{2}$

2 cпособ

$\left \{\begin{array}{l} x{_2} + x{_4} = 20 \\ x{_1}\cdot x{_5}=64\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x{_2} + x{_4} = 20 \\ x{_1}\cdot x{_4}\cdot q=64\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x{_2} + x{_4} = 20 \\ x{_2}\cdot x{_4}=64\end{array} \right.\Leftrightarrow\\\\\left \{\begin{array}{l} x{_2} =20- x{_4} \\ (20-x{_4})\cdot x{_4}=64\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} x{_2} =20- x{_4} \\ 20x{_4}-(x{_4})^{2} =64\end{array} \right.$

Решим второе уравнение системы.

$(x{_4})^{2} -20x{_4}+64=0;\\D{_1}=100-64=36>0\\ \left [\begin{array}{l}x{_4}=10-6=4 \\ x{_4}= 10+6=16 \end{array} \right.$

Если$x{_4}=4$ ,то$x{_2}=20-4=16$

Если $x{_4}=16$, то $x{_2}=20-16=4$

$q^{2} =\dfrac{x{_4}}{x{_2}} =\dfrac{4}{16} =\dfrac{1}{4}$

$q^{2} =\dfrac{x{_4}}{x{_2}} =\dfrac{16}{4} =4$

Получаем аналогичные значения знаменателя геометрической прогрессии. В случае убывающей $q=\dfrac{1}{2}$