Question

Найти первую производную x y' заданных функций:

Answer 1

Ответ:

1)

по формуле:

$y' = ( ln(y))' \times y$

$( ln(y))' = ( ln( {ctg}^{2 {e}^{x} } 3x) ' = \\ = (2 {e}^{x} \times ln(ctg(3x))' = \\ = 2 {e}^{x} ctg(3x) - \frac{1}{ { \sin}^{2} (3x)} \times 3 \times 2{e}^{x}$

$y = {ctg(3x)}^{2 {e}^{x} } \times 2 {e}^{x} (ctg(3x) - \frac{3}{ { \sin}^{2} (3x)} )$

2)

$y + \sqrt{x} ln(y) = 1$

$y' + \frac{1}{2 \sqrt{ x } } ln(y) + \frac{y'}{y} \sqrt{x} = 0 \\ y'(1 + \frac{ \sqrt{x} }{y} ) = - \frac{ ln(y) }{2 \sqrt{x} } \\ y' = - \frac{ ln(y) }{2 \sqrt{x} } \times \frac{1}{1 + \frac{ \sqrt{x} }{y} } \\ y' = - \frac{ ln(y) }{2 \sqrt{x} } \times \frac{y}{y + \sqrt{x} }$

3)

$y'x = \frac{y't}{x't}$

$y't = \frac{1}{tg( {e}^{x} )} \times \frac{1}{ { \cos }^{2}( {e}^{x} ) } \times {e}^{x} = \\ = \frac{ \cos( {e}^{x} ) }{ \sin( {e}^{x} ) } \times \frac{ {e}^{x} }{ { \cos}^{2}( {e}^{x} ) } = \\ = \frac{ {e}^{x} }{ \sin( {e}^{x} ) \cos( {e}^{x} ) }$

$x't = - \frac{1}{ { \sin }^{2}( 2{e}^{x}) } \times 2 {e}^{x}$

$y'x = \frac{ {e}^{x} }{ \sin( {e}^{x}) \cos( {e}^{x} ) } \times ( - \frac{ { \sin }^{2} ( {e}^{x}) }{2 {e}^{x} } ) = - \frac{1}{2} \times \frac{ \sin( {e}^{x} ) }{ \cos( {e}^{x} ) } = - \frac{1}{2} tg( {e}^{x} )$